OB

p désigne le rayon de courbure, /• le rayon de torsion.

Soient donc à Tépoque t Taccélération d'ordre /x, y^,, et ses projections sur la tangente, la normale et la binormale que nous désignerons par y^^^ y^„, y^y^ à Tépoque t-i-dt^ cette tangente et ces normales ont changé de direction, comme l'indique le tableau, et les projections de Taccélération sur ces nouvelles droites sont y^t 4- dy^^^ 5 • • • 5 ^^ ^^ conclut les projections de cette accélération sur les premiers axes, et, en divisant par dt les accroissements çubis par ces projections dans le temps dt^ on a

dy^j 1 ds

^^•'"- ~ 5F ^«^-'"^ ~dr "^ 7 di'^^'''

l^ds ^ dy^^„ ^ 1 ds

I ds dy^^t

De S.-G. — iîetf. lO

l46 RECUEIL d'exercices

Quand on doit prendre des dérivées de p ou de r par

, dû dp ds

rapport au temps, on prend -y- = -'--—,.•• ^ puis on remplace -j- par (/, et ]'on a les composantes de y^ en fonction

, dv d^v dû

On a, pour l'accélération ordinaire,

dv v^

ou en tire, à Taide de nos formules générales, *

-^'^'^-dT^-f''^

3 dv p' dû

7».ii= ~^ir* — ; :7"'

p dt p* ds

rf'p ^ if^ dv i^ dû

'''' d^^ p^ dt p^ ds

La valeur de 72,1» peut être transformée et donner lieu à quelques remarques. L'enveloppe des plans normaux à la trajectoire est une développable appelée surface polaire, dont les génératrices sont les axes des cercles de coiu'bure de la trajectoire. Considérons le plan P osculateur en O, le centre de courbure C^ le centre de courbure au point M infiniment voisin de O se projette sur P en C'5 CC est un élément de ligne de courbure de la surface polaire, sa longueur est dp\ l'angle des deux plans tangents à la polaire en C et

ds G' est égal à l'angle de contingence de OM, soit — *, donc

P ^-^ est le rayon de courbure R de la surface polaire en C,

SCR LA MÉCANIQUE HATIOI4NELLE. l^J

et l'on peut écrire

3 du ^ iP

dans le cas d'une trajectoire plane, R est le rayon de courbure de la développée.

Dans le mouvement elliptique que nous avons considéré, l'accélération du second ordre est tout entière tangentielle 5 fi^n est nul, et Téquation précédente donne le rayon de courbure de la développée

'^' R=3p-:-=3ptaDg«,

a étant Tangle du rayon vecteur de Tellipse avec la normale, puisque -7- et - sont les composantes de Taccélération yi. Aux sommets, R = o.

93. En désignant par c, c' les cordes interceptées par l'accélération du premier ordre dans le cercle et dans la parabole osculatrice à la trajectoire, la composante norrnale de y„ ou suraccélération normale, est

y2,n=^ — ,=-' (Resal, Cinématique.)

p\cc'

Soient (Jig. 10) OT, ON la tangente et la normale à la

Fig. 10.

trajectoire, OFXr un arc de la parabole osculatrice dont OA

l48 RECUEIL d'exercices

est un diamètre, OG la droite suivant laquelle est dirigée raccélération y, a Tangle AON, y Tangle GON, GP parallèle à OT. Puisque raccélération fait l'angle op avec la normale, on a

dv v^

-=-tang,, d'où

La relation (A) précédemment trouvée pour Tellipse s'applique à la parabole, et l'angle a a conservé sa signification; il en résulte