MOUVEMENT GÉNÉRAL D'UN SOLIDE
Cas où il y a nn point fixe.
\\\. Etant donnés trois axes rectangulaires définis par les angles quils font auec un système d'axes fixes susceptibles de coïncider ai^ec les premiers, déterminer l'axe autour duquel il faut faire tourner le premier système pour l'amener sur le second et la grandeur de la rotation, (Cayley.)
L'axe cherché 01 est le lieu des points qui ont des coordonnées égales par rapport aux deux systèmes. On a en général, entre les deux systèmes de coordonnées d'un point, des relations de la forme
X z= axi -4- a'jTi -+- a" z^^ yz^bxfh b'jr^ -^ h'* Zx^
z r= car, -f- c'j, H- c" z^.
Faisons a: = :t:i , . . . ^ on a trois équations sans partie constante qui admettent une solution différente de zéro, car leur déterminant est nul.
Si l'on considère le groupe de la deuxième et de la troisième équation, ou celui de la première et de la troisième, ou de la première et de la deuxème, on a tour à tour
^^h' — d'-^a c'-^b" af-hb mais on a des résultais plus symétriques en multipliant
ST7II LA IfÉGAlîlQUE EÀTXOKNELLE. l8l
membre à membre d'une façon convenable :
Telles sont les équations de Taxe 01-, soit A son angle
avec OX :
ces' A ==
Dans le triangle sphérique isoscèle XIX, , l'angle I mesure la rotation, et Ton a
a =z cos' A 4- sin'A cosi, I , 1 -\~a — 2 cos* A i-f- a 4-^' -h c*'
ces' -I 3= 1 -pr- = -^
112. Mouvement d^ une figure sphérique. — Le mouvement d'un solide autour d'un point fixe est déterminé par celui de la figure qu'il intercepte sur une sphère de rayon i ayant son centre au point fixe. Le déplacement d'une figure sur la sphère est soumis à des règles analogues à celles qu'on a établies pour le plan ^ quant au centre de courbure d'une roulette sphérique, il suffit de faire la perspective sur un plan tangent au pôle instantané pour reconnaître que la construction de Savary s'applique, sauf la substitution d'arcs de grands cercles à des droites. Cependant toutes les propriétés des figures planes ne se reproduisent pas dans les figures sphériques^ ainsi, quand un cercle plan roule dans l'intérieur d'un cercle de rayon double, un point de la circonférence mobile décrit un diamètre du cercle fixe; il n'en saurait être de même sur une sphère , car un cercle de rayon sphérique r a une circonférence égale à 2tr sinr; un cercle de rayon double a pour circonférence 2ir sinar, qui est moindre que le double de la première. L'épicydoïde ne se confond pas avec un arc de grand cercle ; elle
l8â RECI}£IL B^EXEHCIGES
passe au centre du cercle fixe et a des rebroussements sur sa circonférence.
Les droites de l'espace et du corps mobile qui doivent être successivement axes instantanés forment deux cônes qui roulent l'un sur l'autre ; soient C et Ci leurs cônes droits osculateurs suivant la génératrice du contact 01-, a, ai les demi-angles au sommet, od la vitesse angulaire du cône mobile Ci, ds la quantité dont se déplace le pôle instantané pendant le temps dt^ R, R^ les rayons de courbure principaux des deux cônes \ on a
/ \ - ds ds . , .
(i) wrt^= — -i-— =rd[y( cota -î- cotai).
Abaissons IP, IP^ perpendiculaires sur les axes de C et de Cl, et nommons f , <fx les vitesses angulaires de ces droites dans Tintérieur des deux cônes ; on a
IP = sina, IP, = sina,, dsz=.ff sinacf^ = ^i %maLidt\
ces valeurs transforment l'équation ( i ) dans la suivante :
« = ^ cos a -f- Çi cosai ;
elles donnent en outre
o ffx «pCOSa + 7i COSai »
sinai sina sina, cosa -^ . . . sin(a-i-ai)
Si l'on prend sur les axes des cônes des longueurs f et cpi mesurant les vitesses de précession du plan méridien qui contient l'axe instantané, leur résultante est co. Quand on envisage le mouvement de la Terre autour de son centre de gravité, on sait que (f est > o et tù<^o\. donc Ci doit rouler à l'intérieur de C. D'ailleurs, en prenant l'année pour unité de temps,
ff = 5o", 2, w =r — SGo'* X 366, 24,* a = 23*27' ;
SUR LA MÉCAHIQTJE RATIOXfNELLE. l83
en prenant sîna au lieu de siQ(a — «j ), on trouve
5o",2Xsin23»27' — sinai = — : ' — •
36ox6o'x366,a4
En multipliant par le rayon terrestre, on obtient environ 27 centimètres pour le rayon du cercle que le pôle décrit sur la surface terrestre.
