Détermination analytique des éléments du mouvement
Considérons trois axes fixes OXi, OY^, OZi et trois axes mobiles OX, OY, OZ liés au solide \ on sait que les relations entre les coordonnées absolues et relatives sont de la
forme
or, z= ax 4- a' y -f- a" z^
2, =: c j: -f- c'y -f- (fz.
Les projections de la vitesse sur les axes fixes sont
dx^ da da! da" __ dh
dt dt^ ^ dt dt ^' dt
On projette ces trois composantes sur OX, puis sur OY et OZ, et Ton pose
pdi:=. a!'da! ^ h" db' -4- c"^c' znz — [a! doT -I- V db" + c' de'), qdt:= ada" -\- bdb" '\- cdcf\ rdt=:a'da-\- V db -^c'dc;
il en résulte, pour les projections de la vitesse sur les axes mobiles,
V,=:^3 — rj, y^=:rx—pz^ y^~py — qx.
L'interprétation de ces équations est bien connue^ le mouvement à Tépoque t est une rotation résultant de trois rotations Pj y, r autour de OX, OY, OZ.
l84 AECUBIL d'eXBRGIGE$
On peut avoîr les dërîvëes ^> • • • en fonction de p, q^ r,
en formant les valeurs de V,,, V^^, V.^ comme étant les sommes des projections de V,,' V^, V, sur les axes immobiles. On a ainsi
Cette valeur doit être identique à la valeur (1)5 en égalant les coefficients de x^j^ z^ et faisant de même pour V^^, V,,, on a
da
dt
db
da!
dt
ar.
da" dt
= aq —
dt
de
dt
On peut remplacer les neuf cosinus par les trois variables d*Euler, l'angle 9 du plan 3cy avec le planoTij^i, les angles f et ^ de Tintersection OP des deux plans avec OX et OXi \ les valeurs de f , (p, 6 en a, i, c,. . . donnent leurs dérivées par rapport au temps en fonction àe p^q^ r. On évite ces calculs en regardant la rotation instantanée &) comme résultant de trois autres -t-> -7-» "r» autour de OZ^, OP, OZ:
dt dt dt
p est la somme des projections de leurs axes sur OX, . . m
,, . d^ dB
p = smô smtf— -h C0S9 —>
dt dt
d^ dB
q = sinO C0S9 -V- — sin © -7-»
-' ^ dt ^ dt
dfù ^d^
rz= -I -f-cosÔ-T-»
dt dt
SUE LA MÉCANIQUE RATIOUKELLE. i85
Résolvant par rapport à dO^ d^^ d(^^
d9 . d-^ p siriff -^ g cosfo
-~ t=»cosf — asin«, -— = =—7 -^
dt ^ ^ ^ ^ di sinô
•^ = r — cot9(/7smf + ^cosf ].
A l'époque^, Taxe 01 de la rotation instantanée a pour projections sur OX, OX? OZ, p^q^r-^ à Tépoque t -f- dt^ les axes OX, . . . sont venus en OX', . . . , et Taxe de rotation est une droite OI', dont les projections sur OX', . . . sont ;; -h dp^ q -f- dq^ r 4- dr\ mais, OX ayant été amené en OX' par une rotation autour d'une droite infiniment voisine de OI', on a
rox=:rox';
de même TO Y = FO Y', l'OZ = l'OZ', et les projections de 01' sur OX, OY, OZ sont encore p~\-dp^ q -h- dq^ r'{'dr. La rotation Ol' est la résultante de OI et de II',
