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en sorte que lim — peut s'appeler accélération angulaire y«,
et ses projections sur OX,. . . sont ~-> 'Zj'* T*
En différentiant les formules (2) par rapport au temps, on trouve les projections de l'accélération sur les axes fixes-, en projetant ces trois composantes sur chacun des axes mobiles successivement, on a les composantes de l'accélération
suivant ces axes. Tenant compte des valeurs de -3-?-««) ajoutant et retranchant p^x^ on trouve
elr dp
L'accélération peut être envisagée comme résultant de trois parties : la première, perpendiculaire au rayon vec-
l86 RKGUEIL d'exercices
teur OM et à la direction de l'accélération angulaire, égale à OMy„sin{OM, y«); la deuxième partie, dirigée suivant 01, égale à a>'OMcosMOI; la troisième suivant MO, égale à w* OM 5 ces deux dernières pouv ant être remplacées par une seule, «*OMsinMOI dans le plan MOI et perpendiculaire à 01.
Monvement dans l'espace.
114. Le mouvement le plus général d'un solide peut être considéré comme résultant d'une translation et d'une rotation autour d'un axe mené par un point O choisi à volonté. Soient OX, OY, OZ trois axes liés au corps, p, y, r les composantes de la rotation 01 suivant ces trois droites, M, t^, w les composantes de la vitesse Vq absolue du point O; les composantes de la vitesse d'un point M seront
La rotation p, ^, r est indépendante du choix du point O; mais u, p*, (V en dépendent, et l'on sait qu'on peut choisir une origine G au lieu de O, de sorte que la vitesse de G soit dirigée suivant Taxe de rotation GG'. Pour avoir les équations de cet axe, il suffit de chercher le lieu des points dont la vitesse V est parallèle à OI :
.. u -h gz — rjr v •+- rx — pz «'H- py — qx
en combinant ces rapports, on trouve que chacun est égal à
— et aussi a
pu -\- qç -ir TW o)yoCOs(tt>, Vo)
p^-{- q^-hp^ __
Pour tous les points de GG^, V est égal à
SUR LA MÉGAHIQUE R ATIOHITBLLE . 187
OU à la projection de Vq sur OI. En comparant les deux dernières fractions (i), on trouve
n' — qw = rpz -^ pqx — [^-^ <7*)^ z=p[px -^ qx -^ rz] — w'ar,
ce qui permet d'écrire les équations de Taxe de rotation et de glissement
«' jr -\- TV — qw tù^y -I- pw — ru w^z -+- </« — pv
Les projections de l'accélération sur les axes mobiles s'obtiennent en ajoutant aux expressions trouvées dans le cas d'un point fixe les projections u\ v\ çv' de l'accélération du point O.
IIS. Les composantes de la vitesse et de l'accélération se simplifient si l'on prend pour axe des x l'axe de rotation et de glissement, pour axe des z la perpendiculaire commune à cet axe et à sa position infiniment voisine, pour axe des y une perpendiculaire aux deux premiers^ la vitesse de l'origine à l'époque t-h dt sera dans le plan des jcy^ donc çv' est nul, et il en est de même de v^^ çv, ^, r,
dr / 1 * dp dtù , , r, , dq ,
~\ p est égal a w, — = — = &>', et je fais -^ = q'\ avec ces coordonnées, les valeurs générales deviennent
y^zzz u' -\- q'Zy y^-^v' — »'z — »'j^» 7»= w'^ — ^' ^ — w*^»
Les composantes de la vitesse mettent en évidence le mouvement hélicoïdal^ les points où la vitesse est la même sont sur un cylindre droit.
Il existe un centre des accélérations, à moins que «y' ne soit nul -, le lieu des points dont l'accélération totale est K est un ellipsoïde dont le centre est le centre des accéléra-
i88 nBctnsiL d'exeecices
tioss; l'équation, rapportée à ce point, serait
Comme le rectangle j-z manque, Tellipsoïde n'est pas de révolution : les cas particuliers se discutent aisément.
Le lieu des points où l'accélération a une direction dotinée est une ligne droite.
Les points où l'accélération est normale à la vitesse sont sur un hyperboloïde
Le plan des yz est un plan cyclique \ le plan des xz coupe la surface suivant deux droites parallèles : selon qu'elles sont réelles ou imaginaires, l'hjperboloïde est à une ou à deux nappes.
Les points dont l'accélération est tangentielle sont à l'intersection des surfaces
q wz' — KA^uy -h (wtt' — ««') z -J- uv* =z o, taq'yz -f- uq' x -f- (ww' — m«')^ -4- w'wz zzr o;
la première est un cylindre parabolique parallèle à l'axe des x^ la seconde un paraboloïde dont l'axe a la même direction; les deux surfaces ont une génératrice commune à l'infini dans le plan z = o : elles se coupent suivant une cubique gauche et non suivant une courbe plane.
116. Le mouvement infiniment petit d'un solide peut être regardé comme résultant de deux rotations autour d'axes non situés dans un même plan. En effet, soient AB la perpendiculaire commune aux deux axes , AP ^^ p, BQ = q les droites qui représentent les deux rotations, d leur angle. Menons AQ' égale et parallèle à BQ \ les ro-
tations p et q* ont une résultante AR = cd, et
sin(ft>, <jr] sin(«,/') sind
Décomposons p et q chacune en deux rotations, l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à AB ; les rotations parallèles à AR ont une résultante (à = p cos (/?, w) H- y cos(y, w) j Taxe de cette rotation rencontre AB à angle droit en un point O tel que, si l'on fait OA = a, OB = i, AB = c, on ait
<7COs(^,m) /?cos(j7, w) 6>
q^-{-pqcosB p^-hpq cosB w'
Les rotations perpendiculaires à AR donnent un couple é(juivalent à une translation dont la vitesse Y, parallèle à
0), est
V=/?c8in(/?, «) = c— sinO.
Il y a une infinité de manières de choisir les axes des deux rotations , de manière que le mouvement hélicoïdal résultant coïncide avec le mouvement élémentaire du solide. Les droites AP, BQ sont dites conjuguées; le déplacement de chacune d'elles peut être obtenu par une simple rotation autour de la conjuguée, en sorte que les plans normaux aux trajectoires de ses divers points passent par la conjuguée. De là résulte la construction indiquée par M. Chasles pour l'axe central, lorsqu'on connaît la direction des vitesses de trois points A, B, C : on mène en A, B, C les plans normaux aux vitesses de ces points ^ les deux premiers se coupent suivant une droite «(3, les deux derniers suivant (3y; AB et a|3, BC et jBy forment deux systèmes de droites conjuguées. Menons donc la perpendiculaire commune à AB et
IpO RECUEIL D EXERCICES
à a|3, puis celle de BC et ^y^ l'axe central doit rencontrer ces deux perpendiculaires à angle droit ^ il est donc leur plus courte distance.
Étant donnés trois axes rectangulaires, un solide se déplace de manière que deux de ses points A, B glissent sur OX et OY, tandis qu'un plan contenant A et B et lié au corps passe par un point fixe H de OZ; trouver à chaque instant Taxe central. Soit G le quatrième sommet du rectangle dont les trois autres sont 0, A, B ; le mouvement du solide peut résulter d'une rotation autour de la parallèle à OZ menée par G et d'une rotation autour de AB : on prend pour varîable l'angle de AB avec OX, et Ton compose les deux rotations.
En supposant que le centre de la Terre décrive un cercle d'un mouvement uniforme , tandis qu'elle tourne autour d'un diamètre qui reste parallèle à lui-même, trouver pour chaque position Taxe central, la vitesse de rotation absolue et de glissement, le lieu des axes centraux dans la Terre et dans l'espace.
Les tangentes aux trajectoires des divers points d'une droite forment un paraboloide ; les projections des vitesses sur la droite sont égales.
Quand une droite est tangente à la trajectoire d'un de ses points, il en est de même pour la conjuguée, et les deux points considérés sont sur la plus courte distance des deux droites.
