MOUVEMENT D'UN POINT LIBRE
Moavement rectiligne.
117. Soient m la masse d'un point matériel se mouvant en ligne droite, F la force qui le sollicite suivant cette droite, x sa distance à un point fixe pris sur la droite, v sa vitesse à l'époque 2; on a les relations suivantes :
F dv d^x d\v
dt'
m dt dt^ dx
Qu'on doime entre F, f , x et v une relation qui caractérise le problème avec les circonstances initiales, on est ramené à une simple question d'Analyse.
118. Mouyçment d'un point matériel M tiré du repos par une action attractive émanant d'un centre fixe O et inversement proportionnelle au cube de la distance. (Licence, i86o.)
Le mobile reste sur la droite qui va de O à sa position initiale A. Soient OM = :r, OA=:a, m/x' l'attraction à l'unité de distance; l'équation du mouvement est
. . d^x jx»^
igOk KECTJEIL D*EXERCICBS
multiplions par aax, ou remplaçons -—^ par — — -> on a rintëgrale des forces vîves
dx^
d'où
— dt.
^«i« jJ a
On prend d'abord le signe — , parce que x commence par décroître, et l'on a l'intégrale seconde
(3) i/a»— ar»=:~.
La constante d'intégration est nulle, puisque a' — x* est nul pour t = o. Cette intégrale ne peut être constamment
vérifiée, car elle exigerait que t ne dépassât point — > ce
qui serait absurbe \ elle est du moins vraie jusqu'à ce que t atteigne cette valeur avec a: = o, car jusque-là (a) ne donne pas de difficultés. A cette époque, M arrive en O avec une vitesse infinie et se trouve soumis à une force infinie : il y aurait de l'indétermination^ mais il est naturel d^admettre que M dépassera O et que l'intégrale des forces .vives aura toujours lieu. En n'étudiant que le mouvement défini par cette convention, on voit que, x devenant négatif, il faudra prendre le signe 4- dans l'équation (a), et l'on aura une nouvelle intégrale avec une cdnstantc indéterminée
(4) — i/«»— ar»= !^-f-C.
La constante C n'est plus nulle ^ quand M est venu en O, X est zéro et t = •— •, donc C = — aa, t étant toujours
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. ipS
compté à partir de Torigiiie du mouvement ; dans sa seconde période, le' mouvement est donc défini par la loi
(5) ^sja^— x'zzz — ia-^ ^'
Cette nécessité de changer non-seulement le signe du radical qui entre dans l'intégrale, mais aussi la constante arbitraire, ne se rencontre pas généralement, témoin le mouvement d'un point attiré proportionnellement à la distance : cela tient à ce que, lorsqu'il y a à changer le signe d un radical dans l'équation difTérentielle , le radical est ordinairement nul, ainsi que le terme qui en résulte dans l'intégrale, et ceUe-ci n'ofTre pas de discontinuité à laquelle on est forcé de parer à l'aide d'un changement de constante arbitraire. J'en aurai un exemple en suivant encore notre mobile^ l'équation (5) montre qu'il parcourra une distance
0A'= a en sens contraire de OA dans le temps —; alors
a: = — a^ et (2) prouve que dx doit devenir }>o, et Je radical reprendre le signe — ; le retour de A' vers O serait défini par l'équation
Comme on a x = — a avec t == - — 1 C est égal à — 2a,
et la troisième période du mouvement est définie par la loi
il suffit de changer le signe du radical dans Téquation (5) ; mais, quand nous repassons au delà de O vers A, le radical doit changer de signe sans s'annuler : nous revenons à la
forme d'intégrale (4)^ or ici x est nul avec ï= — ; il
Db S.-G. — Âee. 1 3
ig4 KEcuEiL d'exercices
faut que C soît — 4^? et la loi du mouvement jusqu'au troisième passage en O est donnée par la formule
alors nouveau changement de constante, et ainsi de suite.
119. Mouv^ément d'un point M attiré vers deux centres Jixes O et C av^ec des intensités inv^ersement proportionnelles au carré des distances, le mobile restant sur la droite OC 5 ce serait le cas d'un corps se moui^ant entre la Lune et la Terre,
Prenons le point O pour origine et la masse du mobile pour unité. Soient OC = c, a et i les distances respectives auxquelles les attractions de O et de C sont égales à g. Dans le cas actuel, c'est Téquation différentielle du problème qui change selon la position du mobile : si celui-ci est entre O et C, on aura
Quand le mobile est au delà de C ou de O, on a respectivement
Plaçons-nous dans le premier cas, et soit ^0 l^i valeur initiale de Vf pour x = x^ : on a pour intégrale première
La seconde intégration qui donnerait t en fonction de x conduit à une intégrale elliptique^ mais il suffit de discuter les valeurs que ^ peut prendre pour se faire une idée nette du mouvement. En égalant v*^ a zéro, on a une équation du
SUR LÀ MÉCANIQUE HÂTIONITELLE. igS
second degré, outre la solution a: = ±: » ; quand x est trèsprès de zéro ou de c^f[x)esl^o] il faut voir si l'expression peut devenir négative, et pour cela substituer la valeur Xj qui annule f^{x) \ on a
et
Si cette valeur est ^ o, le mobile ira sans s'arrêter depuis son point de départ jusqu'à O ou C, selon le sens de la vitesse initiale, dépassera ces points avec une vitesse infinie, et son mouvement sera déterminé par une des deux autres équations qu'il faut substituer à (i) en dehors de l'espace OC. Supposons, au contraire, /{x^) <^o\ si le mobile est lancé dans la direction de O vers C, et si x^ <] .r^, le mobile s'arrête pour la plus petite valeur de x qui annule v*, puis il revient vers O qu'il dépasse avec une vitesse infinie. Le cas limite est celui où^(j:i) est nulle ^ on peut alors transformer l'équation (2), en retranchant du second membre y(:r:i) qui est nulle ^ en tenant compte de (3), on a
dx^ 7,g[a-\- bY[x — x^Y
dt^ c.t[c — x)
On n'a qu'une irrationnelle du second degré; mais, sans expliciter l'intégrale, on voit que x variera de x^ à x^ pour n'atteindre cette valeur (ju'après un temps infini. Examinons rhypothèse où les points O et C seraient les centres de la Terre et de la Lune; a est le rayon terrestre, soit
636o kilomètres; b est environ -a, c=6oa. Imaginons
que Xf^ soit égal à a ; pour que le mobile atteigne la position de repos correspondant à o: = Xi = 54«, il faudrait
le lancer avec une vitesse telle que .Î = 2ff«(i4-g^-g^), .. = ,8oomèt.env.
- Avec une vitesse moindre, le point retombera sur la Terre.
120. Moui^ement ^vertical d'un point pesant, en admettant qu'il éproui^e dans l'air une résistance proportionnelle au cube de la vitesse.
Supposons que le corps monte, l'équation de son mouvement sera de la forme
(•) dt=-«-ei^'
Séparons les variables et décomposons en fractions simples :
Zgdt Zk^dv dv [ç — ik)dv
k^-^s^ p-^ h v^^vk '\' k
Zgt [V9'^k)\ji>^--i>k^ k^
^ "" [ç^k)^v\---V,k-hk^
-h ^3 arc tang — r; \j- 4--
dx
Si dans (i) on remplace dt par — > on en tire
d'où
Zgdr 3kçdu dv [v'\-k)dv
^' """ {\>^-^ k)^v^-^vk-^ k^
-f vSarctang— 7- —, ^-f- •
SUR LÀ MÉCAiriQUE KÀTIONNELLE. igj
Il suffit d'éliminer w entre (2) et (3) pour avoir une relation entre x et f , et il y aurait avantage à remplacer ces équations par leur somme et leur différence. Le résultat est compliqué ^ mais, si Ton donne à u des valeurs arbitraires entre ^^o et zéro, on aura autant de valeurs simultanées qu'on voudra de t et de x; en faisant i' = o, on trouve, pour la position la plus élevée du mobile,
x = 5— I L — h v3 arc tang —, )•
Le cas du corps descendant se déduit sans peine du premier en changeant g en — g*, A" en — h'^ on trouve qu'avec le temps v» s'approche de plus en plus de Âr, et que x croît indéfiniment.
Pour voir ce que devient t quand on fait k infini, écrivons-le ainsi :
y 3 arc tang ^^ '-^—
2 / V Cg -4-
La partie qui reste finie est •, un développement ana-
vl — ^^
logue donne -^ pour les termes finis de la valeur de x-^
mais, si Ton voulait avoir ^ ou a: en série ordonnée suivant les puissances négatives de A", il vaudrait mieux ordonner de la même manière Téquation différentielle primitive^ ainsi pour t
et Pon intègre aisément.
121. Un point matériel est attiré vers un centre fixe ai^ec une intensité Jonction continue de la distance, et il se meut dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse; déterminer la loi d'attraction de manière que le mobile partant du repos arrii^e en O dans un temps T indépendant de la distance initiale a. ( W. Waltow.)
Soient y (a: ) la fonction cherchée de la distance jr, hv^ la
résistance de Fair^
Faisons
(2) / 2e-^'/{x)djc = u, e-^dxz=zff[u)du.
Jo
Soit a la valeur de u qui répond à x = a ^ on a
jc Jo «/o
On n*a qu'à intégrer la valeur de dt tirée de (1) pour avoir
Jo V^a — u changeons de variables en posant u = az^ nous aurons
r^ ^if[(xz)dz r^ \fÔLZ,ff(az)dz
Jo V^ï-^ Jo S/^ — ^'
Pour que T ne dépende pas de a, il faut que ^0Lz^{az) soil une constante ; autrement elle serait croissante ou décroissante tant que la variable az serait comprise entre zéro et une valeur finie h. Donnons à a deux valeurs différentes
moindres que h*^ les éléments de Tintégrale dans un des cas seront tous plus grands ou plus petits que dans l'autre et Tne sera pas constant. On a donc
<p(az) = --=» ff[u)=—:'
La seconde équation (s) devient
e^^dx = — :r-» d'où I — ^*= 2\A^U,
la constante d'intégration étant choisie de manière que u s'annule avec x. En diflerentiant la première équation (2),
Ju .1 — e"^* 2 er^'f [x]dxz=zdu=z er**€lx -V- = ^ zr^n— ^^
d'où
Quant au temps de la chute, c'est
\dz
=wX.
Lorsque k est nul ou qu'on néglige la résistance de l'air, on voit sans peine quey(a:) se réduit à ^»
Mouvement curviligne.
122. Ce mouvement se détermine d'une manière générale en exprimant que les diverses composantes de l'accélération, multipliées par la masse du mobile, sont égales aux composantes analogues de la force motrice qui agit sur le mobile. On a, pour déterminer les trois coordonnées en fonction de t^ trois équations diiférentielles du second
200 RECUEIL d'eXERGIGES
ordre \ rintégration donne six constantes qu'on détermine à l'aide des valeurs initiales des coordonnées et de leurs dérivées par rapport au temps. Il sera souvent utile de considérer l'intégrale des aires et celle des forces vives quand elles ont lieu.
Je rappelle dès maintenant une proposition générale qui est vraie pour un système matériel placé dans des conditions quelconques : un problème de Dynamique n'a qu'une solution -, un système placé dans des circonstances données prend un mouvement nécessaire et fatal. Si donc on trouve pour les différents points une loi de mouvement qui satisfasse aux équations différentielles du problème et aux conditions initiales, le problème est résolu : le mouvement possible est seul possible.
123. Mouvement d'un point attiré vers une droite fixe par une force inversement proportionnelle au carré de la distance et ayant une vitesse initiale a pai^allèle à cette droite.
Le mobile reste dans le plan qui passe par sa position initiale et la droite attirante-, prenons celle-ci pour axe des x^ et une perpendiculaire par la position initiale pour axe Aesj'^ les équations du mouvement sont
intégrales premières :
d.T 'di
It ' dt V . yy, '
éliminant dt^ on a, pour la trajectoire,
V «' jjo « V /• V
SUR LA MÉCANIQUE KATIONKELLE. aOl
Si Ton avait = i , la trajectoire serait un arc de cy-
cloïde, sinon c'est la courbe déduite de cet arc en dilatant
les abscisses dans le rapport de a\/j q à y/ac'^ le temps que met le mobile pour arriver à la base est
Par raison de symétrie, le mobile passera au-dessous de la droite en gardant sa vitesse parallèle à OX, et décrira une cycloïde dilatée, égale à celle dont il a décrit une moitié.
124. Mouv^ement de dei^x points qui s'attirent proportionnellement à leur distance et à leurs niasses, et dont l'un est libre, l'autre obligé de rester sur une droite fixe. Cas oh la masse du point libre est triple de la masse du second, et où la droite fixe exerce un frottement, les vitesses initiales des deux points étant nulles. (Licence, i865.)
Prenons la droite fixe OA pour axe des x avec deux autres axes rectangulaires ^ soient p la masse du point assujetti à rester sur OA, m celle du point libre, s l'abscisse du point fi, X, y y z les coordonnées de m, c* le coefficient d'attraction pour deux unités de masse à l'unité de distance. Les équations du mouvement s'écrivent immédiatement, en divisant par les masses.
df" ^ '^' dt^ ^
Les deux dernières sont des équations linéaires du se-
20a RECUEIL d'exercices
cond ordre à une seule inconnue et à coefficients constants; leurs intégrales ont une forme connue
y = Acosct^iL -j- A' sinc^v'fz, z = B cosct^ -h B' sinct^iu
On pourrait les écrire sous la forme équivalente
jr =2 a cos c ^IL^t — a), z = ôcoscypi(r — p).
Il en résulte que m se meut sur un cylindre elliptique dont l'axe est l'axe des x^ la projection de son rayon vecteur sur le plan yz décrivant des aires proportionnelles au temps 5
la durée d'une révolution est
Quant aux deux premières équations (1), je les remplace par les deux combinaisons suivantes :
'^de^ dt* ' dt^ dO ^ ^' ^ '
Les intégrales ont encore une forme connue
|x j -4- mx = G -h G' r,
X — 5 = H co^ctyjm -i- fA -+- H' smct^m h- f*.
La première exprime que le centre de gravité de jui et de m projeté sur OX se meut uniformément \ les valeurs de s et X prouvent que ces points oscillent autour de ce centre
de gravité dans un temps -
Dans le cas particulier proposé, je prends pour origine la position initiale O de fz, et pour plan des xj celui qui passe par la position initiale M de /w 5 je fais jx = 1 , m = 3. Le point m ne sort pas du plan des xy. Quant à jui, il éprouve de la part de m une attraction dont la composante suivant OX est 3 c* ( j: — 5), et la composante normale 3 c^j •, celleci est détruite par la rigidité de OX, mais elle donne lieu
SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. ao3
à une force de frottement en sens contraire de la vitesse de [i et égale à la valeur absolue de 3 c^fy* Les équations différentielles du mouvement seront d'abord
(2) g = 3«'(^-.)-3/Cr,
Soient a et & les coordonnées initiales de m, {b^o)\ 1 équation (4} admet pour intégrale
y=k cosct H- B sinc^;
dy
mais, comme pour f = o, on a j^ = J, -^ = o; il vient
A = b, B = o et jr = b cosct.
Dans Téquation (a) je remplace j^ par cette valeur; puis, en l'ajoutant à l'équation (3) multipliée par 3 ou en la retranchant de la même équation, je forme les combinaisons suivantes :
d^s d^jf: , -
dt^ do , ^ .
dt^
— ^c^[x — s)-^ Zc*fb coscf.
Intégrons, en tenant compte de ce que, pour ï = o, on a dx ds dt dt
-7- = -7-=^ = o, wC = a,
s -f- 3x =z 3b/cosct-\- 3 (a — b/)^ X — s=: bf cosct -4- (a — bf) cos^ct^
doù
s=z y [a—- b/)(i — cosacr),
X =: j [a — bf] -f- bfcosct -h y [a — bf) cos^cL
Ainsi y diminue d'abord jusqu'à devenir nul pour t = — 9
et, dans la même période, s augmente de zéro à - (a — bf).
Mais il faut porter notre attention sur Téquation ( 2 ) , où
entre la force de frottement *, elle est écrite dans Thypo-
ds thèse où j^ et — sont positifs. Quand Tune des deux quan-
tités changera de signe, il faudra dans cette équation changer le signe de i/c^j] il en résulterait de la difficulté pour suivre les points dans la suite des temps ^ ici les données
sont tellement choisies que y el -r- changent de signe en
même temps, en sorte que Téquation (2) sert encore pour le retour de [â vers le point O -, t croissant de — à - ? j re-
vient à zéro, y va de zéro à — i, et x arrive à la valeur finale a — si/*; alors met fx sont immobiles, et nous nous retrouvons dans les conditions initiales, sauf le changement de a en a — 2 i/l L'équation de la trajectoire du point m s'obtient en éliminant t entre les valeurs de o: et de y :
C'est une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe des ar, et le sommet a pour coordonnées
a}—iabf , b^f
le paramètre est -
^[a^-bfY -" a-bf
SU& LA MÉCAiriQtTE RATIONNELLE. ao5
Une condition indispensable pour que les choses se passent comme il vient d'être dît, c'est qu'au départ la composante suivant OX de l'attraction subie par le point [x soit plus grande que la composante normale multipliée par f\ cela revient à dire que a — Jysoit ^ o, sinon [i ne bougerait pas, et m se mouvrait sur la droite OM. Quand m sera arrivé à l'extrémité de l'arc que nous lui avons vu parcourir, si a — abf — bf ou. a — 3 bf est encore > o, /ui se remettra
en marche pour une excursion d'amplitude - (a — 3 i/*),
et m parcourra un arc de parabole dont l'extrémité finale aura pour coordonnées a — ^bfelb : [i fera i excursions, i étant le plus petit nombre pour lequel
ensuite jui sera immobile et m oscillera en ligne droite de part et d'autre de O, sa distance /' étant réglée par la formule
r=z Ff^cosct,
On aura un problème facile en prenant notre cas particulier avec y = o.
125. Mouvement plan d'un point matériel M attiré en raison directe de la distance par un centre d'action C qui parcourt un cercle as^ec une vitesse angulaire constante eo, cas où r attraction est égale à la distance multipliée par 0)*, et oii M est primiti\fement en repos au centre du cercle.
On écrit de suite les équations du mouvement, où les lettres ont un sens bien clair,
^ = f.»(Rcosû>f-a:), -Z:^^7(Rsinw/-jr).
Les intégrales donnent la position du mobile à chaque
2o6 RECUEIL d'eXEUGICES
instant :
a;= —5- -cos»i^-f- Acosixf-h Bsinjxf,
^ - j ^ sinw^ -H C cositt -♦- Dsina^
On peut se faire une idée nette du mouvement de M en imaginant un point P dont les coordonnées seraient
^1 = -7 -coswf, rt= ~i — ^-smwi^;
ce point parcourt un cercle concentrique à l'origine et de rayon -^ — ^-^^ avec une vitesse angulaire &). Par rapport à ce point P, les coordonnées de M sont
(2) i=x — d?, = AcôsfA^-h Bsinfz^, >ï = Ccosfx? 4- Dsin/x^.
L'équation de la trajectoire relative est celle d'une ellipse
(3) (A>î — CÇ)'-h [Bn — D?)»= (AD — BC)2.
M parcourt cette ellipse avec une vitesse aréolaire constante, tandis que Fellipse a un mouvement de translation, tel que son centre décrit uniformément un cercle de rayon
R'= L'ellipse (3) devient un cercle si
AC-f-BD = o, A»-f-B»=:C»-f-D% d'où ^— — ?z=dti.
Pour interpréter ces relations, je désigne par r la grandeur initiale de PM, par Q son angle avec OX, par w la vitesse relative initiale de M, par cf l'angle de cette vitesse avec 0X5 les équations (2) montrent que
A=rrcos0, C:=:rsin0, B=-coscp, D== — sinç:
SUR LA MÉGANIQUE RATIONNELLE. 20y
donc
7 COS0 =:=p — sincp, rsinO =zh — coscp,
tango =r — COty, wrrrfitr;
la vitesse relative initiale est perpendiculaire à la droite Po Mo et égale à cette droite multipliée par [i, M se meut
comme s'il était lié à un cercle de rayon ? roulant intérieurement ou extérieurement (selon le signe admis dans les dernières relations ) sur un cercle de rayon RM i dz - J • L'épicycloïde décrite par M sera allongée ou raccourcie selon que r^ • On ne pourra, toutefois, avoir le mouve-
ment donné par le roulement d'un cercle dans un autre de rayon double -, car il faudrait « = /i, et, pour ce cas, les intégrales (i) ont une forme illusoire^ c'est le cas particulier proposé. H est permis d'écrire les équations (i), dans le cas général, sous la forme
,^ cosw^ — cosut .- ^ .
js= u^K ^—-h A' cosuf + Bsmuf,
It? — w'
.^ sincAf — sinixf
jr=:p»R . ^ 4-....
Que l tende vers o), il est aisé de trouver la limite de ces expressions
07= -RcA/sino)^ + A'cosu^-f- B sinur, Y = Rwrcosw^-H C'cosw^H- Dsin»^.
Le mouvement est celui d'un point se déplaçant sur une ellipse analogue à l'ellipse (3), mais dont le centre décrit une spirale d'Archimède avec une vitesse angulaire con-
stante c*). Si au début x^ y et leurs dérivées sont nulles, on connaît les constantes, et il vient
X = — RoJf SlQb)^, T = Rôâ^COSMf H — RsiQu/.
Le point M peut être regardé comme oscillant sur une droite de longueur R, qui reste parallèle à Taxe des j^ tandis que son milieu décrit une spirale d'Archimède dont
l'équation serait r= — (ÔH — j«La courbe que décrit M
présente à l'origine un rebroussement où la tangente est l'axe des x, puis le rayon vecteur grandit constamment ; car son carré est
