MOITVTEMENT D'UN POINT SUR UNE COURBE FIXE
Cas où la courbe est donnée et parfaitement polie.
133. Imaginons un point assujetti à rester sur une courbe fixe qni ne produit pas de frottement ; on peut décomposer la force extérieure F qui sollicite le mobile en une force P, dirigée suivant la tangente à la courbe, et une composante normale Q. La première produit l'accélération tangentîelle
^ ' di 2
Q, composé avec la force normale N, qui représente Tac-
tion de la courbe, produit l'accélération centripète m~*
P Comme l'une des équations (i) ne contient que le temps et
le paramètre qui détermine la position des points sur la
courbe, on peut dire qu'elle donne la loi du mouvement.
La seconde proposition fait connaître l'action de la courbe,
résultante de m— et de Q pris en sens contraire^ cette
réaction fait en général un angle fini avec la normale principale. La pression supportée par la courbe est égale à cette réaction changée de sens.
Si l'on rapporte la courbe à trois axes rectangulaires et qu'on nomme X, Y, Z les composantes de F, X, fx, y les
SUR LÀ IffiCAinQUV RATIONNELLE. a33
angles de N avec les axes, on a
éf'x
di
- = X -h N cosX,
(2) \ m — ^ = Y -h N cos/A,
dt
- = Z -f- N cosv.
avec la condition dx cosX + dy cospi H- dz cos v = o. On eor conclut Téquation des forces vives
L'intégration est possible si X, Y, Z ne dépendent que des coordonnées x^ y^ z, et, en définitive, d'un paramètre unique^ alors les équations (a) donnent les composantes de N, et le problème est résolu.
134. Mouvement d'un point dont la masse est l'unité, assujetti à rester sur la courbe d'intersection d'un çj^- Undre parabolique et d *un cône
et sollicite par une force dont les composantes rectangulaires sont
le point est d'abord placé à l'origine et lancé "vers le haut sur la branche qui est en avant du plan xz^ avec une vi-tesse ak.
Ce problème se traite très-facilement à l'aide des équations générales ( a ) . On tire des équations de la courbe
a34 EECDEiL d'exercices
d'où
, « - , . Iiz - a H- z ,
oa? = - dz^ ajr =:dz\/ — » as=i dz,
L^équation des forces vives est ici
rf ip» z=i^k^xdx -h 9 ^'^rfj -4- 2X^-(a -H 3z)<&.
On peut intégrer sans même remplacer x, j^ dx^ dy par leur valeur en z, paramètre le plus propre à définir les points de la courbe, *
Remplaçant x, j^ et j^ = -— par leur valeur en z^
ds" [a-^zY dz" h^ , ,,
— = ^^ ■ = — (a -f- zr;
dt' a} dt^ a'
d'où
dz
= kdty a -^ zz= ae^'.
Le mouvement se fera toujours dans le même sens, avec une vitesse croissante. Il nous reste à calculer les compû-
1 TVT 1 •! i» * d^^ dW d*z
santés de N, et pour cela il faut connaître -^ï -^ > -j-j •
On a
dx dx dz kz[a'^z) d^x d /dx\dz ^'(û-+-z)(a4-22)
dt dz dt ô ' 5^ dz\dt)dt a
SUR LA MÉGAHIQUE RATlONlfELLE. 935
par conséquent
dt'^
NcosfA=r (fl^-f- ^az — 3z'),
^7,az
Ncosv = — -**(a-f- 5«).
n est aîsë de constater que co&'kdx 4- . . .= o 5 quant à Tangle de N et de la normale principale, on en aura facilement le cosinus, mais il est très-compliqué.
1 35. Un point matériel, assujetti à rester sur une ellipse, est attiré "vers les deux foyers par des forces inversement proportionnelles au carré de la distance et vers le centre par une force proportionnelle à la distance; démontrer que la pression exercée en chaque point de l'ellipse est inversement proportionnelle au rayon de courbure; déterminer .la vitesse initiale qui annulerait la pression; mouyfement correspondant, (Question de licence, i865, généralisée.)
Je suppose la masse du mobile M égale à l'unité, et je désigne par r, r', u ses distances aux foyers F, F' et au centre O, par fji, ii.\ X les attractions de ces trois points à lunité de distance, par ^oXtù les angles de la normale en M avec MF et MF' d'une part, avec MO de l'autre. On sait que le travail d'une force attractive émanant d'un centre fixe est égal et de signe contraire au produit de la force par l'accroissement de distance du mobile au centre. Le théorème des forces vives donne ici
I dr I dr'
d'où
a36 RECDEIL d'exercices
Soit N la réaction normale de la courbe, supposée positive quand elle est dirigée vers le centre de courbure ; nous avons
— =N-f- ~ COS-J*-!- ~- COS-J* +^ttCOSGd;
d*oà, en tenant compte de la valeur de p* tirée de Téquatîon (I),
,/ 2 COS+\ . /tt' \
Pour évaluer les termes variables en jui et i>.\ je rappelle les relations
b^ , rr'
p = r--9 rrcos^^=:b^, pcos^^= — ;
d'où
2 cosip 2r — pcos^p 2«r — rr' i 2 cost^
rp r* r'p ar'p ap r'p r'*
Pour calculer les termes en X, je désigne par p la perpendiculaire abaissée de O sur la tangente en. M ^ on sait que u cosw =/? et p^p = a'i* ; donc
La dernière transformation est fondée sur les théories
d'Apollonius, d'où résulte que — est le diamètre conjugué
de OM. Les calculs précédents donnent à la valeur de M la forme proposée
SUR J.k UÉCAlflQIlE lUTIOJflfELLE. a37
Il a été dit que, si N est positif^ c'est que le point tend à sortir de IVilipse. Pour qu'elle soit nulle ou que le point décrive librement la courbe, il faut avoir
Pour avoir l'équation différentielle du mouvement dans ce cas particulier, je reprends l'équation (I), en l'additionnant membre à membre avec l'équation (II),
^=^^l+^.-lu'-t±JL+^a'+b').
Déterminons les points de l'ellipse par leur anomalie excentrique cp ^ on a
rz=.a[i — tfCOSf], /•'=:û(i -Hccosç),
w* = a^ ces' ç -H t^ sin'f , ds^=:a^[i — e^ ces' (j) ) dt^^.
Substituant dans l'équation précédente, on lui donne, après de simples réductions, la forme suivante :
dt^ a®(i — tfcos®)' û^(i -I- ecos^)^
do
On ne peut effectuer l'intégration^ mais, comme -j- ne peut
s'annuler, on voit que le mouvement sera continu.
L'équation (II) est remarquable : si l'on y annule tour à tour fjt' et X, ji et X, fj( et ii.\ on reconnaît que f'J est la somme des carrés de trois vitesses initiales avec lesquelles le mobile décrirait librement l'ellipse sous l'action de F seul, ou de F', ou de O. Nous avons un cas particulier d'un tbéorème général : lorsqu'un mobile, partant d'un point donné avec des vitesses dirigées suivant une droite donnée, peut, sous l'action de forces qui donnent lieu à l'intégrale des forces vives, décrire une certaine courbe, il la décrit encore si
a38 RECVBIL B EXEHGIGES
toutes les forces agissent à la foîs, pourvu que la vitesse initiale soit dirigée suivant la droite donnée, et que son carré soit la somme des carrés des vitesses correspondant à Taction individuelle de chaque force. U suffît d*écrire Tintégrale des forces vives avec toutes les forces pour y lire ce résultat.
Une autre proposition, qui comprend le cas proposé, consiste en ceci : soit un mobile soumis à l'action de certaines forces, qui, avec une vitesse initiale donnée, décrit une courbe plane ^ si Ton change la vitesse initiale et qu'on oblige le mobile à décrire la même courbe, il exercera une pression inversement proportionnelle au rayon de courbure. En effet la valeur de N, qui était nulle dans le premier cas, se complique seulement d'un terme provenant
de -• Or la valeur de t^* ne diffère de ce qu'elle est dans le
P premier cas que par l'addition d'une constante A, qui rend
136. Un mobile M, non pesant, assujetti à rester sur une circonférence de cercle, est attiré vers un point O de cette courbe par une force fonction de la distance; déterminer cette fonction de manière que la pression exercée sur le cercle soit constante; nature du mouvement produit,
(Licence, 1868.)
Prenons la masse du mobile pour unité, le point O pour pôle, le diamètre OA pour axe polaire ; désignons par a le diamètre, par r la distance OM et par ©(r) l'attraction du centre O. La vitesse est donnée par le théorème des forces vives
(I) e/.f^'nr— 2(p(r)^r.
La réaction normale N du cercle fait avec r un angle égal
SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. aSp
à 6, et, comme le rayon de courbure est -? on a
— z=NH-cosÔflp r, p'=: 1 — r»(r ,
puisque acosd = r. DifTérentio'ns et comparons à Téguation (2)
donc
c désigne une constante \ l'attraction varie en raison inverse de la cinquième puissance de la distance. On peut alors intégrer Téquation (2), qui donne
La pression exercée sur le cercle est égale à N, mais dirigée en sens contraire^
a ar\
Quand N est positif, c*est que le mobile tend à sortir du cercle^ si N est négatif, il tend à y pénétrer. Je tire c de cette relation pour le substituer dans Téquation (3), en même temps que les valeurs
dB
/ NX ', = a w, r^ = a cosa, c = û* cos*a I atù^ j 5
elle devient
,,, ^0» N / , N\cos*a
^^' dt^ 2 \ 2/C0S<ô
On ne peut intégrer dans le cas général-, mais on voit
a4o RECUEIL d'exeeciges
que, si N est ^aao)* ou c<^o, le mobile n'atteindra jamais le point O et oscillera entre les points dont l'angle polaire est ± 6', où Ton a
cos^
Ô'= I I =- j cos'a.
Qand N <^ saw', c'est-à-dire quand la force est attractive, le mobile arrivera en O avec une vitesse infinie^ mais il n'atteindra pas toujours le point diamétralement opposé. Il n'y arrivera pas si
h (flft)' J COS'a <;0, N<C — 24»*C0t»a;
mais, lorsque N sera compris entre aaw* et — a«a)*cot*flf,
-r- ne s'annulera jamais , et le mouvement sera continu.
Les seuls cas où Téquation (4) s'intègre à l'aide des fonctions élémentaires sont celui de N = aaw' et de N = o : le premier répond à une attraction nulle et donne un mour vement uniforme^ le second, où le point suit libremirait le cercle, donne à l'équation (4) la forme simple
d^ COS^a /v . « r ,
-7- = « — — -î aô -h sin20 = 4«^cos'a -4- 2aH-sin2a-
d£ cos^ô
Le mouvement est continu, périodique, et la durée de la révolution sur le cercle est
TT irn*
6> cos^a
sfc
137. On donne, dans un plan vertical, une cycloïàe dont la base est 'horizontale et la convexité tournée vers le bas; le rayon du cercle générateur esta. Un fil sans masse, de longueur 6a, est attaché par une de ses extrémités à Vun des points de rebroussement de la cjcloïde; lé fil est d'abord ^wrtical et se termine par une
SUR LÀ MÉCAlîIQirE RATIONNELLE. H^t
masse m à laquelle on donne une vitesse horizontale ^Sga ; mous^ment du point m, tension duJiL (Licence, 1864.)
Je prends pour origine le point O, où le fil est attaché ; pour axe des x l'horizontale, et pour axe des j^ la verticale descendante. Soit A la position initiale de m; le fil OA s'eniroulera sur la cycloïde, une portion OP s'infléchissant suivant un arc égal de la courbe, Tautre partie PM étant dirigée suivant la tangente. Les coordonnées du point P peuvent s'écrire
a:^=za[u — sin«), jr^z=:a[\ — cosu).
Un calcul connu donne
arcOP = 4^ ( ï ~ cos - j ;
donc
PM
= 2 a I i-h 2. cos - j
D'ailleurs - est l'angle de PM avec OY ou de la tangente à
la trajectoire avec OX. Je le désigne par y. En projetant sur les axes l'arc OP et la tangente PM, on a les coordonnées du point M
xz=za[7.ff — sin2ç)-l-2«(i-f-2C0sy)siny = a(2y-f 2siny+sia2ç),
y z=za[Z -f- 2cosf H- cos2f j.
Sans effectuer l'élimination de (p, qui donne un résultat très-compliqué, on peut reconnaître la forme de la courbe. On a d'abord
dx-=:2,aCOSff[l -f-2C0Sf )</f, djr=. — 7,a[\ -f- 2C0Sf ] ÛXL^dff.
Dans la cycloïde, on fait toujours croître u\ on fera de même pour ^ ; x commence par croître, y par décroître;
pour f = -9 dx devient négatif; alors x diminue jusqu'à
Db S.-G. — Ree, 16
^4^ RECDEIL d'exercices
ce que (f soit égal à — •, dx et dy changent de signe à ce
moment; x et y vont augmenter, et Ton a un point de re-
broussement BLr = a(-57rH — ^3Ujr=-aL situé sur
la cycloïde, tandis que tout le reste de la courbe est en dessous. A partir du rebroussement jusqu'à 9 = tt, x'ety augmentent pour atteindre 2 a 7r et 2 a. La partie qui suit est symétrique de celle que je viens d'esquisser, par rapport à la verticale du second point de rebroussement de la cycloïde ^ mais le poids m n'atteint pas même le point B, car le théorème des forces vives donne
Or rf5 = 2a(i -h 2 coscp)^^-, il vient alors
i;- = 4«'(l -+- 2C0Sç)*--— = 2ga[l -f- 2COSf -h 2C0Sç);
d'où
COSff)df
V " vcosçfi
V^COSç(l -h COSf j
On voit que (f ne peut croître au delà de - *, pour cette valeur,
le mobile s'arrête et va rebrousser chemin pour exécuter des oscillations symétriques; les coordonnées du point d'arrêt sont j: = (Tr-i-2)a, ^=2a; la tangente est verticale; l'arc parcouru est
2a (l -f-2C0Sf)rff =ra(1r-f-4)•
Pour intégrer l'équation (I), on prendra pour variable tang - f , ce qui laisse un radical ; mais, comme (f reste com-
SUR LA MÉGÀVrQXTE RATIONNELLE. 243
pris entre dz. -» on posera tang - cp = sin/ut^ d'où
2 cos II duL cos'u d9= !--^j COSflp=: r^«
^ H-sm'fA iH- sm Y
Substituant dans Téquation (I),
, /g 3 — sin»a - /^^du i-
y a I -f- sinY ^ «^ 14- sin'fA '^ ^
i /-/=4^ctang(^atangfA) — jA^^a
= 4^^^^^^ ( ^2sin-yj — ^2arcsiD f tang-ç J*
Le temps d'une demi -oscillation s'obtient en faisant
y = - OU /x = -»
La tension correspondant à une position quelconque du fil est la résultante de la force centrifuge et de la compo^ santé normale du poids; or p = PM, et nous avons trouvé l'expression de v^ \ on -en déduit
^^ (^ \ 4cos<p-f-3cos^ç
N = m [ — h /f cosç I r= mg ^ i^ •
\P / i-hacosy
Cette tension est d'abord -^ mg et diminue jusqu'à zéro.
138. Deux points pesants se meuv^ent sur un cercle vertical dans des conditions telles, quç leurs vitesses au point le plus bas sont égales; montrer que la corde qui joint les positions simultanées des deux pendules eni^eloppe un cercle ayant pour axe radical avec le cercle s donné l'horizontale mesurant la hauteur d'où il faudrait /cure tomber les mobiles pour* leur damier leurs vitesses réelles^
(Jacobi.) i6.
244 nBcuEiL d'exeugices
Soient [fig- sii) A et B deux positions simultanées des mobiles, A', B' des positions infiniment voisines, P le point
le plus bas du cercle, y/a gh les vitesses en ce point, HH' l'horizontale située à la hauteur h au-dessus : les carrés des
Fîg. 21.
vitesses sont entre eux comme les distances de A et B à HH' ou comme AS : BS, S étant le point de rencontre de AB et de HH'. D'ailleurs la similitude des triangles A A'M, BB'M montre que le point M, où AB touche son enveloppe, partage la corde dans le rapport de AA' à BB', c'est-à-dire des vitesses correspondantes \ donc
