__ (SA — SM)' ■~*(SM — SB
Développons et réduisons^ nous pourrons diviser par AB et écrire
sm'=saxsb.
Le cercle qui passe en M^ H et H', ou qui admet avec le cercle donné HH' pour axe radical, est donc tangent à AB; quand cette droite se déplace infiniment peu, le cercle qui la touche et passe en H et H' vient à une distance de M qui est du second ordre infinitésimal au moins : c'est dire qu'il
SUR LÀ MÉCÀMIQUE RÀTIOUNELLE. Ià^^
se confond avec le premier et constitue l'enveloppe de la corde AB. Pour construire ce cercle, il sera nécessaire de connaître h et une position particulière de AB.
La propriété que je yiens d'établir est l'interprétation mécanique d'une forme que Jacobi a donnée à l'intégrale de l'équation d'Euler^ on sait que cette équation peut
s'écrire
df d-^
Jacobi prend deux cercles dont les centres sont O et C, les rayons R et r^ il considère une tangente mobile AB au second cercle et remarque que, si l'on désigne par siR(f et 2Rt{f les arcs PA, PB interceptés sur le premier cercle par la tangente variable à partir de l'extrémité P du diamètre commun, les variations des angles f et ^ satisfont à une équation de la forme (a). En eifet, d'après une remarque faite dans la démonstration géométrique, si M est le point de contact de AB avec le cercle C, et si OC = a, nous aurons
2Kdf ___ ^ yAc'— MC' ^R»-|-a»-4-2flRcos2y^^ 2k4 "" BM ~" -/j^ ='—=• "" ^Ri^4-fl»4-2aRcos2+ -^r»*
Je remplace cossif par i — 2 sin'f , cos2^ par i — asin'ij;,
et, en divisant les deux radicaux par ^(R-ha)* — r*, je trouve précisément entre cZcp et di^ une relation de la forme (a), avec la valeur du carré du module,
(a-f-Rj'—r'
Toute équation entre (f et ^, exprimant la propriété de la corde AB, sera l'intégrale générale de l'équation («) si 6lle renferme une arbitraire, ainsi prenons l'équation de
a46 AEGUEIL D^EXERCICES
AB €t écriyons que sa distance à C est r
(7) ûCos(iJ/-h y) -+-Rcos(,>p — y) = / :
c'est l'intégrale cherchée. Nous n'avons, en réalité, que
deux paramètres, ^ et —*, l'équation (|3) détermine l'un
d'eux, mais il en reste dans l'intégrale précédente un tout à fait arbitraire.
Revenons à nos pendules, que je suppose en A et 6^ en
P, leur vitesse était sj^gh^ et l'équation des forces vives prend la même forme pour les deux :
d'où
4R» ^ — ^^h = a^R(cos2f — i ) ;
\/âg^ , ^y d4f
^ et ^ sont liés par une équation de la forme (a) ^ donc la droite AB enveloppe un cercle analogue à celui que Jacobi a considéré -, on a
,•^ 2R 4flR
On obtient une seconde relation entre a et r en considérant l'instant où A et B sont sur une même horizontale; on peut regarder cp comme égal à — a et (p = a, et l'on a
évidemment
Rcos2a = r — «,
comme l'indique aussi l'équation (7). Si donc 2T est l'intervalle entre les époques du passage des deux mobiles en P, il est clair qu'il faudra un temps T à l'un d'eux pour parcourir un arc aRa à partir de P, et a sera déterminé
Sl]R LÀ
MÉGANIQVE
par
l'équation
et Ton pourra adjoindre à (5), pour déterminer z et a,
rt = R I cos^am — ^--e sin'am
T>/2gA \ 2R /
Supposons A^àR, le mouvement des pendules sera continu. Soit T le temps nécessaire pour parcourir tout le
cercle; si, à des intervalles de temps -9 on lance n mobiles
du point P avec la vitesse ^^gh^ ces mobiles forment les sommets d'un polygone dont les côtés enveloppent toujours un même cercle \ d'où ce théorème, dû au général Poncelet : Si deux cercles sont tels qu'on puisse construire un polj" gone inscrit dans l'un et circonscrit à Vautre, il existera une infinité de polygones ayant la même propriété.
Le temps d'une petite oscillation est donné par les formules précédentes. Soit 2 9 l'angle maximum du pendule avec la verticale, on aura
^=::2Rsin*d, et, si l'on pose sîny i=: sînS sinu, il viendra
sinB du
sine 1/1 rf^=-^=^
Vr »/i-sii
^i — sin'Ôsin'w dt 4/^ = du (1 + - sin'9 sin'u + ...),
a48 ftECtJEIL D^EXBRCXCES
Cas où il 7 a des résistances de milieux et de trottement.
Les résistances du milieu, étant des fonctions de la vitesse, n'empêchent pas l'équation du travail, d.i^* = Vds^ de donner la loi du mouvement sur la courbe \ seulement, comme P dépend de t^, l'intégrale du premier ordre ne se trouve plus à l'aide d'une simple quadrature^ on a une équation différentielle à intégrer. S'il y a une force de frottement proportionnelle à la pression normale, il faut calculer cette pression, résultante de la force centrifuge et de la composante normale des forces extérieures \ en la reportant dans l'équation du travail, on est encore ramené à une équation différentielle en v^,
139. Un point pesant est lancé avec une vitesse hori^ zontale i^oi à partir du sommet d'une cjcloïde dépolie dont la base est horizontale et la conv^exité tournée vers le haut; le plan de la courbe est vertical. Mouvement du mobile; point où il quitte la courbe en le supposant posé au-dessus.
En prenant pour axes la tangente au sommet et l'axe de
la cycloïde, les coordonnées d'un de ses points ont la forme
connue
j? = fl(« -f- sinw), jr=:a[i — cosa).
On sait que la tangente fait avec l'axe des x l'angle -y et que
ds= 2acos-udu^ p = /Lacos-u.
Soit N la réaction normale de la courbe dirigée vers le haut, /*N sera la réaction tangentielle, et, en faisant la masse du mobile égale à Tunité, nous aurons, comme dans les cas précédents, les deux équations du mouvement
(I) d^V^=(gs\xï^ ^f-^ds, - =5^008-— N.
Eliminons N,
/- =z glsm-u — /cos-w)
2 ds p *'\2 a/
ou
--j /v^=:2ag[6inu — /(iH-costt)].
L 'intégrale de cette équation linéaire est donnée par une formule générale
i>^= ef*" I vl -4- 2ag I (sinu — / — fcosu)e'''^*du 1 ;
mais
donc
/, , sinM--/cosw ,
/' ft. . . cosi£-4-/sinw f.
/, igo/^\ , r (i — /"Icosa 4- a/sinttl
En posant f=z tangcp, cette expression prend une forme remarquable
(n) p^= (pj — ^ag sin*^)é^^'^^ 4- 4a^sin' U — i uj •
Avant de discuter cette formule, je rappelle que nos équations (I) sont établies en supposant la réaction de la courbe dirigée vers l'extérieur, et N > o -, si N devient négatif, quand le mobile reposera simplement sur la courbe, il la quittera, et quand il ne pourra s'échapper, comme une bille enfermée dans un tube cjcloïdal, il faudra écrire la première équation (I)
(I bis) d^t>'=:(gs\n^u -h/N^ ds,
25o RECUEIL d'exercices
et la formule (II) ne sera plus exacte. Or nous avons
N = fif cos -u ;
la formule (U) s'applique seulement tant que
v^ <C S^ cos - « < ^ag cos* - w.
Il faut que vf\ soit <^4^é'9 ^^^^^ ^^ mobile quitterait tout de suite la courbe. La formule (II) commence par être applicable tant qu'on a
((('J — 4^5'8in»^)tf"*"»?4-4«é'sinM y u\
f — 4^S'sinM «j<o.
Distinguons deux cas selon le signe de i^] — 4^S sin'f : s'il est positif, la formule (II) montre que i^' ne s'annule pas ; mais l'inégalité (III) cesse d'être satisfaite quand u dépasse une certaine valeur moindre que tt; alors le mobile s'échappe s'il en est libre, ou sinon il faut modifier les équations du mouvement comme il est dit (I bis).
Soit v] — 4^S'sin*<!p<^o; la formule (II) montre que v* s'annule pour une valeur de u moindre que acp, car le second membre, positif pour u= o, est négatif pour - M=<p5
mais le deuxième terme du premier membre de la formule (III) est moindre que le troisième, à cause de f <^-;
l'inégalité sera toujours vérifiée; le mobile restera sur la courbe jusqu'à ce que %f* devienne nul, et l'on arrivera à un repos indéfini.
Soit i^J — 4^S'sin*<3p=o. Le mobile s'arrête pour i/= 27, sans que l'inégalité (III) cesse d'être vérifiée; mais le point de repos est une position d'équilibre instable; u peut dé-
SUK LA MÉCAiriQUE RÀTIOUirELLE. a5l
passer la valeur atp sans que (^..devienne imaginaire; la vitesse est toujours donnée par la formule (II), du moins
jusqu'à M = y -f- -î valeur pour laquelle JNf est nul, et le
mouvement change de nature. On peut exprimer t en fonction de u ; car, avec la valeur actuelle de (^^ ,
if=aa cos
i du , , — . / I \ n di ^ ® \^ 2 /
On met le signe -f- ou — selon que le mobile est au-dessus ou au-dessous du point d'arrêt. Prenons la première hypothèse ]
V a sïn[ff — Y«) sm(y — -^u)
Développant et intégrant,
Vî=
sm® 2 cosoL -.—. 2-; — r -\- usmo.
U faudra un temps infini pour arriver au point d'arrêt.
Le cas de y*= o se déduit aisément de nos formules ou se traite directement.
140. Mouvement d'un point pesant sur une hélice dépolie, tracée sur un cjlindre droit vertical, de rayon R \ la tangente à l' hélice Jait l'angle a avec l'horizon.
Nous ne connaissoi^s pas la direction de la réaction normale N de la courbe; nous savons seulement qu'elle est dans le plan normal, et nous désignerons par |3 l'angle qu'elle fait avec la normale principale; celle-ci n'est autre, on le sait, que la normale au cjlindre. Supposons la masse du mobile M égale à l'unité, son point de départ sur l'axe ' des X, et sa vitesse initiale t^o dirigée vers le bas; les arcs descendants seront comptés comme positifs. Ecrivons les
â5a RECDEIL D^BXEUCICES
composantes de raccélëration suivant la tangente, la normale principale el la binormale,
(i) -^ — =r^sina-— /N, -=Ncosp, g'cosa — Nsinp=3 0. Comme p = — — ? on en tire
^ cos* a tangp=: ~5 , N* = g''cos*aH
p'cosa R'
ou
^ = ^ sina — /cosa 1/ 5^^ + «i cos^a
«/.p* 2é2fCOSa
g'R tanga — / v/g'^R^ -H i^ cos»a ^^
Pour intégrer, je pose ^g^'R*-h^'*cos'a = g^R -f- ïcj'^cosa, et j'obtiens
(i — tf^jcosa
2^cos'a 2(1-+- !/•)</«
(i — w*) [tanga—/— (tanga -i-/)w']
La définition de u montre qu'il est compris entre zéro et I , et l'expression de v^ en fonction de 1/ prouve que ces deux variables augmentent ou diminuent ensemble. Lorsque /'est > tanga, l'équation (3) montre que du est toujours négatif, ds étant ^ o ; u diminue depuis sa valeur initiale iio, déterminée par 1^05 jusqu'à zéro; alors v est aussi nul et M s'arrête. Au contraire, si tanga ^y, le mobile ne s'arrête
plus. Soit A = i/ -—■ ^> la valeur de (^'correspondante
à 1/ t=s A sera
SDR LÀ MÉCÀNIQXTE EÂTIONNELLE. 253
Lorsque Uq sera <^ h^ du sera d'abord ^ o; u augmentera jusqu'à A, et la forme de la difierentielle prouve qu'il n'atteindra cette limite que pour 5 == oo ; si u^'^h^u diminue jusqu'à A, qu'il atteint seulement à l'infini. Enfin, si u^ = A, le mouvement sera uniforme avec la vitesse constante A*.
On peut trouver la valeur de u en fonction de ^ : il faut, dans l'ëquation (3), remplacer le coefficient de du par deux fractions simples relativement. à u' :
