ds cos' a a tang a du a du
'R tanga — / — (tanga -h/)tt* i — m»
Dans le cas on f est ^ tanga, on a pour intégrale
^cos'a (1 + «b) (' — tf)
- — ^ '^"^^ arctang ^"^ - "^ N/Z'-tang'a
^/2 tang'a /— tanga + (/4- tanga) i/Hp
Pour avoir Parc parcouru jusqu'à ce que le mobile s'arrête, il suffit de faire dans cette formule u = o. Lorsque /"est <^ tanga, l'intégrale ne renferme que des logarithmes; elle est compliquée et ne pourra conduire à la valeur explicite de 5 en fonction de t\ mais on peut prouver que la courbe qui représente la loi des espaces en fonction du temps a une asymptote : ce sera un nouveau cas où l'équation différentielle d'une courbe ou d'un mouvement peut suffire pour en étudier les propriétés. Prenons égales les
longueurs qui représentent l'unité d'espace et de temps.
ds Puisque, pour 5 = 00 , lim -^^k, k sera le coefficient angulaire de l'asymptote ; l'ordonnée à l'origine sera
mais Téquation (2) peut s'écrire, en nous râtelant la
a54 RBCTIEIL D^EXEUGICES
valeur de /r*,
ds K gK tanga -h/s/g^K* -H p* cos'a d^ç^ "" cosa /»cos*a(/-* — i^*) '
OU
$ = — I (^Rtanga-h/v/^'R'-Hf'^cos'a)
^ /* cos»a ( /•» -h X-^f' -f- At^ + t^3)
Il est donc fini et déterminé.
L'hypothèse de f= tanga n6 donne pas beaucoup de simplification; on trouve que i^ diminue toujours jusqu'à zéro, valeur qu'il n'atteint qu'avec s infini.
Le mouvement ascendant se traiterait absolument de la même façon : on compterait les arcs montants comme positifs et Ton n'aurait qu'à changer g' en — g: 5 il y a toujours arrêt 5 et il n'est pas moins évident que le mouvement ascendant et le mouvement descendant ne peuvent pas être compris dans une même formule.
Détermination de la courbe par les propriétés données
du mouTement.
On peut demander sur quelle courbe un point, sollicité par des forces connues, doit être assujetti à rester pour que son mouvement satisfasse à des conditions données. Il faut donner deux conditions relatives à la courbç ou au mouvement^ car on aura ainsi deux relations qui, avec les trois équations du mouvement et la condition de perpendicularite de la tangente à la courbe et de sa réaction, permettent de trouver en fonction du temps les coordonnées du mobile et les composantes, de la réaction. En général, on écrira les équations du mouvement comme nous l'avons fait dans le
SDR LÀ KÉGAIÎIQXJE RÀTIOITlîELLE. 255
cas précédent, et rélimination de ta réaction et du temps fera connaître la courbe.
141 . Déterminer dans un plan vertical une courbe telle qu'un point pesant, assujetti à la suivre, exerce une pression dont le rapport avec la composante normale du poids soit une constante X ^ cas oà l'on peut intégrer jusqu'à la fin, (Licence, i865, 1871.)
Je prends pour origine le point de dépari, l'axe des x étant horizontal, l'axe des j^ dans le sens de la pesanteur;
je désigne par ^^gh la vitesse initiale et par N la réaction de la courbe, comptée comme positive quand elle agit dans le sens du rayon de courbure. Si la masse du mobile est égale à l'unité, on a
On mettra le signe 4- ou le signe — selon que la courbe tournera sa convexité vers le haut ou vers le bas : dans le premier cas, la pression exercée sur la courbe, égale à
^gj-y sera dirigée vers le centre de courbure, en sorte que
N devra être représenté par — ^Sjr'^ àams le second cas, la pression, étant encore vers le bas, sera opposée au centre
de courbure, et N, dans le sens de ce rayon, sera ^g-^S donc
Remplaçons v^ par sa valeur tirée de l'équation des forces vives, et X — i par n^
... dx
2à56 RECUEIL O^EXERGIGBS
mais, en faisant —- = p et supposant d'abord dx de même signe que ds^ j'ai
rfj iJl-Jt-p^ ^ ' pdp
L'équation de la courbe est donc, en divisant par g^ Intégrant et désignant par c la constante h[i +p\Y',
yc» — [h-^ yY
On ne sait intégrer cette difTérentielle binôme que lorsque ou sera entier: ces deux cas sont com-
pris dans la formule /i= -> |x étant entier. Voyons quelques
valeurs simples de ji.
Soit |x = — 2 : alors /i = — i, X = oj l'équation (i) devient
dx=z± --È:É=z, ^C(h-^:r - c) = [a: - 2 \/c{h-c)]\
C'est une parabole à axe vertical que le mobile suivra librement, en sorte que la courbe, ne réagissant pas, n'éprouvera aucune pression.
Soient [1 = — I, n ^ — 2, X= — 15 la pression sur la courbe est égale et opposée à la composante normale du poids ^ Téquation (i) devient
Sun LA MÉCANIQUE EATIONIîELLE. âSy
C'est une chaînette, car on déduit de Téquation précédente
La loi du mouvement sur la chainelte se déduit de l'équation des forces vives \ on a
On sera conduit à une intégrale elliptique de deuxième espèce^ mais on voit quej^ grandit indéfiniment avec t.
Soient |x = i,7i = 2, X=:3; la pression est triple de la composante normale du poids ^ l'équation (i) nous donne
C'est un cercle dont le mobile parcourt la moitié inférieure. Soient fx==2, 7i = i, X = 2^ la pression double de la composante du poids
La courbe est une cycloïde tournant sa convexité vers le bas -, la base est sur l'horizontale y"== — A, et le diamètre du cercle générateur est c\ quant au mouvementjisur la cycloïde, il est bien connu. Dans toutes les courbes brachistochrones, la pression est double de la composante normale des forons extérieures lorsque l'intégrale des forces vives existe.
Enfin, si Ton fait fx infini, on a
/î = 0, X=i; Di S.-6. — Bec. 1 7
le mobile doit rester sur une droite, et son mouvement est uniformément varié.
142. Déterminer dans un plan vertical une courbe telle quun point pesant, obligé de la suivre et ayant primitivement une vitesse horizontale ^2 gh^ exerce une pression constante. En déduire la courbe sur laquelle il faut faire enrouler le fil qui soutient un pendule simple restant dans un plan vertical pour que la tension soit constante.
(Agrégation, i84i0
Je prends pour axe des x l'horizontale du point de départ O, pour axe des y la verticale montante. Je désigne par OL l'angle de la tangente avec l'axe des x^ et par ng la réaction normale, comptée positivement quand elle sera dirigée vers le centre de courbure \ enfin je fais la masse du mobile égale à l'unité. Le théorèpie des forces vives et l'expression de l'accélération centripète nous donnent
(1) v'=7,g[h—y)^ -^ing^gcosa.
Supposons que la trajectoire doive d'abord être concave vers le haut, il faudra prendre le signe — \ en effet, tant que cosa est }> o et que la courbure ne change pas de sens, la composante normale de la pesanteur est en sens contraire du rayon de courbure \ elle devient de même sens que lui quand cosa <^ o \ mais cela fait .précisément que, dans l'accélération centripète, elle donne toujours — ^cosa. On conclut des équations (i)
h — Y ,- .ûncLdcK.
n — cosa = 2 =2(^ — r) — ; •
n est évident que n est ^ i ^ les variables ^e séparent, et l'on a, en intégrant,
{A 7)(«-cos«)'=A(«-i)», j. = A(-^^)a;
SUR U MÉCANIQTm RÀTIOHIIELI.E. aSg
d'où
, . , svCLOLda. , , . , cosoLdoi
^ ' [n — cosaj' ^ ' [n — cos«)*
Ott peut intégrer la valeur de dx en prenant pour variable
tang - a \ mais, sans effectuer ce long calcul , on peut se
rendre compte de la forme de la courbe. Quand a varie de
zéro à -> X Qly augmentent régulièrement; pour a = -?
la tangente est verticale; ensuite j^ continue à croître, mais X décroît jusqu*à ce que a soit égal à tt ; au point correspondant A, la tangente est horizontale,
X a une certaine valeur a; puis, a continuant à croître, la trajectoire est Tare symétrique de Tare OA par rapport à la verticale de A, et le mobile revient toucher Taxe des x à une distance 2 a de l'origine ; puis tout se reproduit comme d'abord. Sans calculer la valeur générale de x^ il est aisé d'avoir a. On a, en effet.
Jo (/» — cosa»
Or
"^ da
Jo /î — cosa Y^/i»— I
Différentions par rapport à n,
da
cosa)^
=r/iw(/2»— if*.
â6o RECUEIL D*EXEEC1CES
difierentions par rapport à -» puis divisons tout par n',
r- =3/î7r(/î'— Il \ az=z
o ('ï — cosa)» (^H,)2^;,i.i
La courbe sur laquelle ou doit faire enrouler le fil d'un pendule pour que la tension soit constante n'est autre que la développée de la précédente. Soient x^^yi les coordonnées du point correspondant au point a:, j^^ on a
r, =1 V -f- p cosa = r 4- 2 — COSa
•^ n — cosa
r 3 cosa -—n . . 1
L [n — cosa)' ^ ' J
d'où
ni V,, sinacosa^fa ^., . sin'aâ^a
^ ' [n — cosa)* ^ ' [n — cosa)*
On a d'abord un point Oj, correspondant à O, où la tangente est verticale \ puis y^ diminue jusqu'à a = - pour
augmenter quand a varie de - à tt ; quant à OTi, il croît tou-
jours ^ il y a un point de rebroussement Ai, correspondant à A, avec tangente verticale \ puis la courbe forme une suite indéfinie de festons égaux. Il est clair que l'arc 0| A| peut seul servir à l'enroulem^it du fil pendulaire.
Supposons qu'au point O la courbe doive passer au-dessous de sa tangente, c'est-à-dire que a diminue à partir de zéro; on devra prendre
v^ dy
" r=z ng -h g cosa et p = —
Des calculs analogues à ceux du premier cas nous donnent
«H- co8a = 2(r-^ A)«în«-7-> rz=k — hl )•
^•^ ' dy '' \« -t- cosa/
lim
SUR LÀ MÉGANIQUE KÀTIONN ELLE . 26 1
La constante n est seulement assujettie à être ^ — i . Si on la prend ]>i9j^ reste fini, on a la même courbe que dans le premier cas \ toutefois l'origine en est le point le plus haut, au lieu d'être le point le plus bas. Lorsque n est compris entre i et — i , on peut le représenter par — cos^, et si P est Tangle compris entre zéro et — tt, dont le cosinus soit — 71, on voit que, pour a = 13, j^ et aussi x sont infinis; la direction asymptotique fait l'angle {3 avec l'horizontale, mais r asymptote est rejetée à l'infini \ en effet son ordonnée à l'origine est
(/»-4-i)*A r^ cos|(p — g)r/«
- 2/1 X sin»i(p-.a)sin»f(p4-a)'
Comme la quantité sous le signe/, multipliée par ((3 — a)*, reste finie pour a = |3, l'intégrale est infinie. Pour /i = o, on a
pour n = I , on trouve l'axe des x.
143. Tr ouvrer une courbe plane telle quun point obligé de la suii^re, et partant d'un point donné O [fig* ^2) de
Fig. 22,
cette courbe, sous l'action d'un point A qui l'attire pro^ portionnellement à la distance, arrive en un point quel-' conque M. de la courbe dans le même temps que s'il s'était ma 5UI' la droite ÂM. (OssiAir Bonitet.)
Soient M» M^ deux points de la courbe infiniment voisins; le mobile doit parcourir les arcs OM, OM' dans lo même temps que les cordes OM, 0M^ Soit P le point où arrive le mobile qui suit la corde OM^ à Tinstant où celui qui suit la courbe passe en M, tous deux étant partis en* semble de O-, nos deux mobiles doivent parcourir dans le même temps, Tun la droite PM', l'autre Tare MM'. Comme le théorème des forces vives a lieu, les vitesses en P et en M diffèrent infiniment peu; il faut donc PM'r= arc MM'; le triangle PM'M est isoscèle et M'= n — aM'PM.
D'autre part, il est aisé de démontrer que, si Ton considère des mobiles, partant ensemble du point O, attirés vers le point A et suivant des droites issues de O, le lieu de leurs positions simultanées ou courbe synchrone est un cercle dont le diamètre OC est dirigé suivant OA ; les points O, P, M, C
sont donc sur un cercle, M'PM = OCM = 6 en prenant OA pour axe polaire ; il en résulte
rdB M' ==20, --~r=tangaO, r» = c'sin20.
La courbe demandée est une lemniscate de BernouUi, angeute à OA, et dont le paramètre est quelconque.
144. Des tautochrones. — Trouver sur une surjace donnée une courbe sur laquelle un point, sollicité par des forces connues, doit se moui^oir pour qu'il arri\^e en un point A de cette courbe dans un temps constant, quel que soit le point d'où il part sans ^vitesse initiale.
Le mouvement d*un point sur une courbe. est déterminé par la composante tangentielle de la force motrice, comme le mouvement sur une droite Test par la force agissant suivant cette droite. La recherche des tautochrones se ramène à celle de la force qui doit agir sur un point assujetti à rester
SUK LA ICÉGÀNIQUE KATIOUNELLE . 263
sur une droite pour qu'il arrive à un point donné A de la droite dans un temps constant. On a trouvé que, s'il n'y a pas de résistance de milieu, la force doit être une attraction proportionnelle à la distance MA^ donc, sur une tautochrone, la force tangentielle en un point quelconque M est proportionnelle à l'arc AM. On a une équation différentielle qui , avec la connaissance de la surface sur laquelle doit se trouver la tautochrone, suffit à la déterminer. Le point A est une position d'équilibre^ autrement il ne faudrait qu'un temps très -court pour y arriver en partant d'une position infiniment voisine.
Cherchons dans un plan la tautochrone pour un mobile attiré vers un point O du plan par une force inversement proportionnelle au carré de la distance. Je prends O pour pôle, OA pour axe polaire; le cosinus de l'angle que la force
dirigée suivant le rayon vecteur fait avec la tangente à la
dr courbe est — — ; on a donc, pour l'équation de la tauto-
chrone,
u. dr
\a rj ra
/2/* r adf r-—: --
ds=k -^ — sJdr^-hr^d^\
y na r — a ar'
dP= ^ —^ T^dr^',
2/îr*(r — a)
r doit rester compris entre a et une valeur r'^a\ pour r = a, la tangente est perpendiculaire au rayon vecteur ; pour r=:r^^ elle se confond avec lui et il y a rebroussement, en sorte que la courbe ressemble à une hypocycloïde.
Le temps que le mobile met pour arriver en A est - \/n.
Nous avons trouvé que, lorsqu'un mobile se meut en ligne droite dans un milieu dont la résistance est Ar(/*, pour qu'il arrive au point A de cette droite dans un temps con-
a64 uEGiiEiL d'exercices
stant, il doit être attiré vers le point A par une force qui, à la distance 5, est
Vk
le temps de la chute étant -X. Donc, pour qu'un point
assujetti à se mouvoir sur une courbe dans un milieu résistant arrive en un point A de cette courbe dans un temps constant, il faut que la composante tangentielle de la force extérieure ait une valeur telle que F. Supposons le mobile sollicité simplement par la pesanteur et la courbe dans un plan vertical \ prenons pour axe des x la tangente au point le plus bas, pour axe des j^ la verticale ascendante ; nous aurons en chaque point de la tautochrone
Comme j- doit être compris entre — i et -f- 1 , 5 a des limites^ il faut
ce qui donne, du côté des x positifs, un point d'arrêt à tangente verticale. Si l'on donne à s des valeurs négatives, on pourra aller jusqu'à — 00 quand X'g^Ar ^15 il y aura une branche infinie au-dessus de OX avec des abscisses négatives. Sî, au contraire, 'k^gk <^ i, j ne pourra aller à — 00 , et Ton aura un second point d'arrêt. Quant au mouvement sur ces courbes, il est donné par l'équation du travail
rfi .^=-rf,[j^ («»., )*^]
» étant la valeur initiale de s. Une nouvelle intégration
donne
I — ff-*'= (l — tf"**) COS-*
Le mobile descend pendant un temps égal à - X et remonte
pendant un temps égal, et Parc négatif Si qu'il décrit est donné par Téquation où Ton fait £ = irX. Pour le mouvement ultérieur, il faut changer le signe de Arf^* dans l'équation du travail, et la courbe n'est pas tautochrone du côté des arcs négatifs.
145. Cas particulier de la brachistochrone. — La hrachistochrone est la courbe que doit suivre un point sollicité par des forces connues pour arriv^er d'un point à un autre dans un temps minimum.
On peut éviter l'emploi du calcul des variations quand la courbe cherchée doit être dans un plan avec la force extérieure et qu'il existe une fonction des forces, c'est-à-dire une fonction f (^,j^)) telle que les composantes de la force soient
€ix djr
Le théorème des forces vives donne, dans ce cas,
en supposant la constante des forces vives contenue dans cette fonction ff\ de plus, la force qui sollicite un corps placé aux différents points d'une courbe f = const. est normale à cette courbe, dite courbe de niv^eau.
Nous résoudrons d'abord un problème d'Analyse. Étant donnés deux points  et B qui se trouvent dans deux régions du plan séparées par la courbe G, quel chemin doit suivre un mobile pour aller de A en B dans un temps minimum, sachant que, dans la région où se trouve A, le
266 HECUEIL d'exercices
mobile aura la vitesse ^^ dans Tâutre région la vitesse m'? Soient a:i, j^i, Xitj't les coordonnées de A et B, a:, j^ celles du point M où la ligne parcourue rencontre C ] il suffit d*égaler à zéro la diflerentielle du temps nécessaire à parcourir le chemin AMB, ce qui donne
Cela exprime que les cosinus des angles que la tangente à C au point M fait avec AM et avec MB sont proportionnels aux vitesses dans les deux régions 5 or ces cosinus sont les sinus de ce qu'on appelle les angles d'incidence et de transmission.
Cela posé, imaginons une série de courbes de niveau très-rapprochées, et cherchons à déterminer une ligne polygonale joignant deux points donnés P et Q, ayant un sommet sur chaque courbe de niveau qu'elle traverse, et telle que ce soit la ligne brisée qu'il faut suivre pour aller de P en Q dans un temps minimum ; on admet que chaque côté soit parcouru avec la vitesse qu'un mobile, partant de P sans vitesse initiale et soumis aux forces données, aurait sur la surface de niveau où se termine le côté considéré. Soient M un sommet du polygone situé sur une courbe C, A et B deux points infiniment voisins de part et d'autre de M, i et i -h di les angles de AM et MB avec la normale en M, f' et {> -\- dv les vitesses avec lesquelles AM et MB sont parcourus. On doit avoir
sin i sin ( / 4- di ) cos / di
V v -\- du dv
Si maintenant nous supposons que les courbes de niveau soient infiniment rapprochées, le polygone deviendra une courbe^ la loi suivant laquelle le mobile la parcourra ne sera autre que celle qui résulte de l'action des forces don-
SUR LA m:é€Anique rationnelle. 267
nées, et nous aurons la brachistochrone. Or l'équation de condition donne
sin/ cos idi dv sin/ cos idi
p I di' dt v^ vdt
mais, la force motrice F étant normale à la courbe de ni*
di
veau, i est Tangle de F avec la brachistochrone 5 alors ■—
est — cosi: d'ailleurs vdt est Tare de courbe et di l'angle
de contingence-, la condition devient
Fsin/ ~- /» — .
La force centripète est égale à la projection de la force extérieure sur la normale^ mais il suffît de faire la figure pour voir que c'est sur la normale portée en sens contraire du rayon de courbure 5 autrement dit, la pression exercée sur la brachistochrone est double de la composante normale de la force F. Cette propriété caractéristique donne, dans tous les cas, la courbe cherchée.
Dans le cas où les courbes de niveau seraient des droites parallèles, comme i -f- di serait l'angle d'incidence pour la courbe qui suit celle que nous avons considérée, on peut
dire que est constant, ce qui donne une équation différentielle du premier ordre, tandis que la propriété précédente donnait une équation du second ordre. Pour un point pesant, on a, en prenant au point de départ j^ = o,
ce qui caractérise une cycloïde où la tangente au point de départ est verticale.
268 RECUEIL D*EXERGICE8
Soit à déterminer la brachistochrone pour un point attiré vers un centre fixe O par une force inversement proportionnelle au carré de la distance. Désignons par a la
distance initiale et par -~ l'attraction à la distance r\ le
carré de la vitesse sera généralement 2ju ( ) ; nous
aurons donc
Si la distance du pôle à la tangente est /?, on aura
-, pnr --: d'eu — i^ = 2 ]-^\
r ^ dp^ r^ \r a] rdr
donc, c étant une constante.
dp adr , /i i \ , ,<' — '
~-2— = -7 ; z=zdr\--\ ), />'~c'
Au point de départ ;> = o, la courbe touche le rayon vecteur^ d'ailleurs
La courbe présente encore des festons analogues à ceux d'une hypocycloïde, mais elle est d'ordre plus transcendant. Les constantes se déterminent à l'aide des deux points extrêmes qui sont donnés.
(Pour Us Exercices^ voir le Chapitre suivant,)
