Troui^er les surfaces de niueau pour un point dont
SUR LÀ MÉCANIQUE RlTIONNELLE. I7
le poids est P, et qui est attiré vers un point fixe O par une force constante Q.
Prenons pour origine le point O, et pour axe des z une verticale dans le sens de la pesanteur \ les composantes de l'attraction du point O sont
en sorte <]ue Téquation des surfaces de niveau sera
Vdz — Q -^ ^ = 0,
Les surfaces de niveau sont les lieux des points tels que leurs distances à Torigine et au plan z = c soient dans un rapport constant : ce sont des surfaces de révolution autour de Taxe des z, et leur méridienne est une conique ayant pour foyer Torigine, pour directrice la droite z =z c^ ce sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon que P sera <! Q? = Q? ^ Q 5 i^ais il ne faut prendre que les points pour lesquels z — c est > o, c'est-à-dire ceux qui sont au-dessous du plan z == c^ les autres correspondent au cas où Q serait négatif, c'est-à-dire au cas où le point serait repoussé de l'origine. Lorsque l'on a un ellipsoïde ou un paraboloïde, il faut que c soit négatif, et toute la surface répond à la question; dans le cas de Thyperboloïde, c peut être quelconque, et la partie utile est toujours la nappe inférieure de l'hyperboloïde.
La pression exercée sur la surface est dirigée suivant la partie de la normale qui va rencontrer l'axe des z; sa gran-
De S.-G. — Rec. a
l8 RECUEIL d'exercices
deur est
V^X^-l-Y^-HZ'^i /p'-hQ'— 2PQ
sjx^ -4- J'* -t- 2'
Sur rdlipsoïde, elle va de P -H Q, au sommet supérieur, à Q — P, au point le plus bas \ dans riiyperboloïde, elle va
de P 4- Q ou de P — Q à y/P* — Q*, selon que % est ^ q.
Un corps pesant placé sur un plan incliné est tenu en équilibre par deux forces égales à la moitié de son poids, l'une horizontale, l'autre suivant une ligne de plus grande pente, toutes deux tendant à faire monter le mobile : quel est Tangle du plan avec l'horizon?
C est 2 arc tang - •
Un fil de longueur donnée passe sur une petite poulie et se termine par deux poids qui reposent sur deux plans inclinés, la poulie étant située à une distance connue au-dessus de leur intersection : figure d'équilibre.
Positions d'équilibre d'un point pesant, assujetti à rester sur une spirale logarithmique et repoussé du centre par une force constante. (FuHaMAww.)
Un point pesant est obligé de rester sur une hyperbole équilatère dont une asymptote est verticale; quelle force horizontale faudrait-il lui appliquer pour qu'il soit partout en équilibre sur l'hyperbole? (FuHaMANW.)
Trouver sur un cylindre ar' -t- j' = «' une courbe de niveau pour un point sollicité par ime force dont les composantes sont \x, fx^, vz.
Surface de niveau pour un point sollicité par une force dont les composantes parallèles à trois axes rectangulaires sont ax + a,
SUR LA MÉCÀniQU£ RATIONNELLE. I9
bjr-\- f^, cz -h y\ en déduire le cas où le mobile est attiré vers des centres fixes, proportionnellement à la distance.
Position d'équilibre d'un poids P assujetti à rester sur un ellipsoïde à axe vertical, et attiré vers le centre par une force constante Q. On trouve, a, b^c étant les demi^xes,
0^ Qj Qz-f- P \/3?' -4- j-^ - h z\
Il faut annuler ou x ou jr, et les points cherchés sont à Tintersection de l'ellipsoïde et de certaines droites partant du centre; mais, le radical devant être pris avec le signe -h, on reconnaîtra que, sur chaque droite, il n'y a qu'un point d'intersection admissible, le second répondant au cas où Q serait répulsif.
Cas où il y a des frottements.
14. Lorsqu'un corps M est posé sur une surface naturelle qui n'est jamais parfaitement polie, une force tangentielle quelconque ne suffit pas pour le faire glisser 5 elle doit dépasser une certaine limite qui est celle de la résistance de la surface au glissement; cette résistance est la force de frottement. On dit que l'expérience montre que la force de frottement est fN^ proportionnelle à la pression normale N; mais il faut bien entendre qu'il s'agit de la valeur maximum qu'elle puisse atteindre, alors que le glissement est près d'avoir lieu 5 si le corps n'est pas près de glisser, la force de frottement n'est qu'une fraction, inconnue a priori, de /N, mais égale et opposée à la résultante tangentielle des forces extérieures. Le frottement au départ, /*N, est dirigé en sens contraire de la direction où le mouvement tend à se produire. Lorsqu'il y a mouvement, l'adhérence des surfaces glissantes produit encore un frottement proportionnel à la pression normale, mais le rapport est exprimé par un coefficient moindre que celui du
20 HECtJEIL d'exercices
frottement au départ. L'angle qui a pour tangente les coefficients précédents est dît angle de frottement : c'est l'angle de la normale à la surface et de sa réaction. Observons dès à présent que, si deux surfaces, toutes deux mobiles, glissent l'une sur l'autre, elles sont soumises à des forces de frottement égales et opposées, dont la direction est celle du glissement relatif, c'est-à-dire qu'elle est parallèle au plan tangent commun.
