MOUVEMENT SUR UNE SURFACE FIXE
146. Un point assujetti à rester sur une surface peut être traité comme un point libre, à condition d'ajouter aux forces extérieures la réaction de la surface^ cette réaction est normale quand la surface est polie -, s'il y a frottement, elle est dans le plan qui passe par la normale et la tangente à la trajectoire, et fait avec la normale un angle égal à l'angle de frottement. Supposons la surface polie et les coordonnées rectangulaires; on aura des équations de la forme
dt^ A dx
=\/(i)'-(iy-(î)
Quand N sera positif, c'est que l'action de la surface sera dirigée vers la région extérieure à la surface, celle pour laquelle /(j:,j, z) > o.
Les trois équations du mouvement, jointes ày*= o, font connaître x^j^ z, N en fonction du temps. U sera bon de cbercher si Ton peut appliquer quelques-uns des théorèmes généraux, comme celui des forces vives ou des aires \ enfin, dans certains cas, on définira la position du mobile sur la surface par deux coordonnées curvilignes, en fonction desquelles on transformera les équations du mouvement.
La force centripète est la résultante de la réaction normale et de la projection des forces extérieures sur le plan normal à la trajectoire; autrement dit, la pression suppor-
2y0 RECUEIL D EXEEGICES
tée par la surface est la résultante de cette projection et de la force centrifuge : elle est égale à la projection des forces extérieures sur la normale à la surface, augmentée de
m - cosd, 6 étant l'angle de la normale avec le plan oscu-
lateur. Cette dernière projection est, d'après le théorème
de Meunier, égale au quotient de la force vive par le rayon de courbure de la section normale à la surface qui passe par la vitesse. La pression N ne dépend donc pas directement de la position du plan osculateur.
147. Mouvement d'un point pesant obligé de rester sur un cylindre droit vertical et attiré vers un centre A par une force proportionnelle à la distance, (Licence,
Je prends pour axe des z Taxe du cylindre et pour axe des X une horizontale passant par A-, on a pour l'équation de la surface
Faisons la masse du mobile M égale à l'unité, OA = a, et appelons [/} l'attraction à l'unité de distance \ les équations générales du mouvement nous donnent
Ajoutons les deux premières multipliées respectivement par arfx, arfy,
d^x d^Y dx^-hdr^
dt^ dt^ ^ dt^ ^
sua LA MÉCANIQUE EATIOITlfELLE. ^yi
Posons j: = R cos9, j^ = R sinO, et désignons par o» et a les
valeurs initiales de --r- el de d^ cette intégrale peut s'écrire
(2) R— =:R«*-i- 2fA^a(cosO — cosa).
Quant à la troisième équation (1), elle s'intègre séparément :
smyLt — — -
La projection de M sur Taxe des z fait des oscillations dont la durée est — au-dessus et au-dessous du point dont
1 ordonnée est — ^* L'équation (a) prouve que le rayon vecteur de la projection de M se meut par rapport à OA, comme la tige d'un pendule de longueur ~~ par rapport à
la verticale^ le mouvement sera alternatif ou continu selon
que
R»' — 2fi'^x(iH- cosa)^o.
Dans le second cas, le temps d'une révolution est / rfO^R(afA'acosO -f- R»*— - 2p'acosa) ^;
s'il est commensurable avec — 9 la trajectoire sera fermée ^
mais elle ne peut être plane, car ce serait une ellipse, et 6 devenant une fonction connue de z s'exprimerait comme lui par des fonctions élémentaires de t^ or c'est incompatible avec la forme de Téquation (2) qui exige une intégrale elliptique.
Quand a &=; o, on peut appliquer le théorème des airea.
2yi RECUEIL D EXERCICES
sur le plan xy] d'ailleurs l'équation (3) donne
et, en prenant pour origine du temps une époque où rfz = o, (3) devient
cospr — ~;
si fji = 0), la trajectoire est plane.
Pour calculer N, j'ajoute les deux premières équations (i) multipliées respectivement par x et /, et, comme
je tire
d^ Tc d^ Y
mais
dx dy d^x d*r dx^ dr^
donc
dB* = — R»— -f-fA»(R'— aRcosô).
Remplaçant g; par sa valeur (2):
N = fA*(R-f-2aco8a — SacosO) — R«*.
Cette force diminue avec cos0^ il suffit de donner â cette variable ses valeurs extrêmes pour reconnaître si N peut s'annuler.
148. Mouvement d'un point assujetti à rester sur un cône droit et attiré vers l'axe par une force qui lui est
s OR LA MÉGAiriQUE RATIOlîlfELLE. 278
perpendiculaire et proportionnelle à la distance du mobile à l'axe. Cas oii la vitesse initiale est perpendiculaire à l'axe et le demi-angle du cône égal à 3o degrés, (Licence, 1869.)
n est facile de résoudre ce problème à Taide des équations du mouvement sur une surface \ mais on y arrive plus rapidement par une considération souvent utile dans les questions sur le cône. Définissons la position d'un point M sur le cône par sa distance r au sommet, et par l'angle &> que la génératrice sur laquelle il se trouve ferait avec une génératrice fixe si Ton développait la surface sur un plan . Soient vp l'angle des plans méridiens passant par les deux génératrices considérées, Q le demi-angle au sommet du cône^ la distance de M à l'axe est rsind, et Ton a
Le mobile n'étant sollicité que par la réaction N de la surface et l'attraction de l'axe /x*rsinP, qui toutes deux rencontrent l'axe du cône, le théorème des aires a lieu pour la projection sur un plan perpendiculaire
r» sin»0 ^ = r» sinO ^ = C.
dt dt
L'équation des forces vives est intégrable, et donne, la masse de M étant i ,
dr^-\'r'*dfù* , , , .x . .
Les deux équations entre r et ci> sont celles du mouvement d'un point attiré vers un centre O par une force p}rûo}B^ r et 00 étant les coordonnées polaires ^ on sait qu'un pareil point décrit une ellipse dont O est le centre. Si donc on développe le cône sur un plan, la trajectoire du mobile proposé aura précisément pour transformée cette ellipse, ce
De S.-G. — Reû, 18
qui en définit la nature dans l'espace ^ le mouvement du point sur la trajectoire est tel que Taire décrite par les rayons correspondants de la transformée croisse proportionnellement au temps. On détermine relHpse, puisqu'on en connaît un diamètre OMo, la tangente à son extrémité qui fait avec OMo l'angle de v^o avec r© ^ enfin i*^ est égal au produit de fi sin et du diamètre conjugué de OMo 9 on aura les axes 2 a, nb et leur direction.
La projection de la trajectoire sur un plan normal à l'axe est, p étant le rayon vecteur,
— p- = — cos*(^J<sinO) -4- Tjsin^f^'sîûô);
elle est transcendante quand sind est incommensurable; pour 6= 3o°5 c'est une courbe du quatrième ordre.
Soient, en un point de la trajectoire, a l'angle de la génératrice avec la tangente, R le rayon de courbure de la section menée par cette tangente et la normale au cône ; la
pression N est (146) — diminuée de l'attraction estimée
suivant la normale au cône, j:z'rsindcos0. La formule d'Eu- 1er sur la courbure des surfaces donne
I sin* a
R r tango' donc
„ p'sin^a , . « ^ C^cosO , . ^
N = r — fAVsm0cos9 = , . .^ — a^/smOcosO.
rtangO 7'sm*9 ^
149. Etudier le mouç^ement d'un point pesant sur un paraboloïde de réifolution dont Vaxe est vertical et la convexité tournée vers le bas; discussion générale, (Licence, 1861, 187a.)
Partons cette fois des équations du mouvement sur les
SUB LA MÉCÀNIQrE RATIONNELLE. 2yS
surfaces. On peut écrire réquation du paraboloïde (i) «* + j^* — 2pz = o;
et, si la masse du mobile M est l'unité, les équations du mouvement deviendront
/ d'à: ___ Nor d\r Nj dH __ Np
(2J '"SiF^T"' ^^T"* dÔ^"^ À"'
( A = v/jc' -f- /* -h /?'.
Ajoutant les trois premières multipliées respectivement par 2t/x, ^dy^ ndz, et tenant compte de l'équation (i), on a l'intégrale des forces vives
dx* dy^ dz^ , , ,
Si l'on multiplie la première équation (2) par — y^ la deuxième par x, et qu'on les ajoute, on a
d^Y d'x dr dx ^
C'est Tintégrale des aires appliquée au mouvement de la projection sur le plan XY, et cette équation pouvait être écrite à Tavance, puisque les deux forces qui agissent sur M, la pesanteur et la réaction de la surface, ont un moment nul par rapport à l'axe des z.
La nature de la surface et la forme des intégrales premières conduisent à prendre des coordonnées semi-polaires r, 9 et z. Appelons a la valeur initiale de r, et e l'angle de la vitesse initiale t^o ^vec la tangente au parallèle, les intégrales des aires et des forces vives deviennent
2^6 RECUEIL d'eXERGKES
de plus l'équation de la surface donne
r' = 2/7Z, rdr=p dz.
Eliminons r et 6 entre les équations (3 ), faisons i^\ = iïgh^ et tenons compte de ce que a*= 2pz^^ nous trouverons
z doit rester compris entre deux limites égales à
±:-\/[z.— hy-hAz.ksiD}t,
Pour que ces limites se confondent, il faut la double condition z^^=^h^ e = o; dans ce cas, le mobile parcourra uniformément un parallèle de la surface avec la vitesse
^2g^Zo*, comme la longueur du parallèle est niz^^pzo^ le
temps de la révolution sera .. y/^:, U est le xaéa.e pour tous les parallèles (^).
(*) Sur une surface de révolution quelconque à axe vertical, on peut donner à un mobile pesant une vitesse horizontale i^,, telle qu'il reste sur le parallèle où il est d'abord; il faut et il suffit que la résultante de la force centrifuge et de la pesanteur soit normale a la surface. Soient r le rayon du parallèle, y l'angle de la normale avec la verticale; la condition est
gcosy = — " siny; le temps dé la révolution sera
T=— = a7rY/-tangy.
Pour que ce temps soit le même pour tous les parallèles, il faut que r tangy soit constant; or, en appelant dr et dz les variations correspondant à no petit arc de méridienne,
tangy;=-7-> rdr-=icdz;
la méridienne est nécessairement parabolique.
SUR LA MÉGANIQUE RATIONJXELLB. 277
Dans le cas général, le mobile monte jusqu'à une certaine hauteur P, puis redescend jusqu'à une hauteur plus faible a pour remonter à la hauteur |3 pendant un temps égal à celui de la descente \ il exécute des oscillations périodiques entre deux parallèles de la surface. Avant d'achever l'étude de ces oscillations, je calculerai la réaction N de la surface. Ajoutons les trois premières équations (2) multipliées respectivement par x^y^ — P\^^ ^^ déduit
mais, en dijfférentiant deux fois l'équation (i), on trouve
d^x d'^y d^z dx^ dy^ dz^
Le second membre est donné par nos formules précédentes \ substituant dans N et réduisant, on trouve
N= ^ - [jp'-i- 2jp( A4- Zq) 4-2AzoCOS'e].
Comme elle est toujours négative, il en résulte que le mobile appuie toujours sur le côté concave de la surface.
Revenons à l'étude du mouvement. Nous ne restreignons pas la généralité du problème en prenant pour origine du temps l'époque où z a sa valeur minimum a, le maximum
étant (3 = A = — î- 5 l'équation (4) donne
On prend le signe -h jusqu'à ce que z atteigne P, puis le signe — quand z décroit, et ainsi de suite; le temps d'une demi-oscillation est
^^ dz ^iz
^sJ. v^(^-«)CP-^)
^yS KEGUEIL d'exercices
Posons 2 = a cos*a -f-^sm*ii, nous aurons des intégrales de forme connue
at= Jîï±P du l/, - ^±P^ cos'«.
Pour avoir la projection de la trajectoire sur XOY, je remplace dans Téquation (5) z par — i dz par — et di
par — j- = = -r= — ; il vient
(6) d6=±^± >r-HP'+r')
Nous avons, u étant la même variable que tout à Tlieure, r*= 2/? (a ces' « -h psia*«),
d^=±du\^h^ V^/^-^^«^s»//-4-2psin^ii ^ V i? acos^tt H- psiii^tt '
r oscille entre ^2)9 a et \l^p^\ Tangle de deux rayons maximum et minimum qui se suivent est supérieur à ->
a car c'est
