JU
V/? -1- 2acos'«£ -{- 2psiu^a , -i-î , — • (l^
Q a cas'' fi -h psin^w
/ V « P . COS'tt "^ 2
Nous retrouvons le même théorème que M. Puiseux a démontre', au tome VII du Journal de Liowille, sur le pendule sphérique 5 la différence d'azimut de deux plans
de hauteur maximum et minimum est ^-^ mais la dé-
monstration est compliquée dans le cas du pendule sphé-
rique (*).
Lorsque (3 est très-voisin de a, on voit que l'angle des
Les petites oscillations s'étudient très-facilement sur le paraboloïde. Je fais ^pa = a\ 2pÇ> = b^ dans l'équation (6)5 puis, dans Téquation (5), je remplace z par la variable r, et j'introduis les mêmes paramètres a et J-, on
(*) Voici, sauf quelques modifications, la démonstration que M. Puiseux
donne de cet important théorème. Faisons le rayon de la. sphère égal à i,
appelons e Tangle du pendale avec la verticale, f Tazimut du pendule, et
de ^? ^ 1
supposons qu'à Tinstant initial on ait Ô = a, 9 = o, ^ = 0» ^^ — "• '^*
équations des aires et des forces vives donnent
8ln*6^ =«sîn»a, ^•+-"»'^^' = w»8in«a-+- 2^(008 ô - cos«);
d'où
dz(asin*a.d$
sin ^( cos 5 — cos a ) [ a^ sin" Ô — w' sin* a C cos Ô -+- cos a )]
La quantité entre crochets s'annule pour une valeur de 6, /3, que je suppose •< a; on a
2 fi" w'sin'a
Sfl^sin'jS = w*flin'aCco8â-i-co8a), — ;; = — . , .' >
or \ r n cosy3H-co8« sin'^
d'où
— sina8in)3</d
sin ô V^(co8 Ô— cos a) (cos ^— cos Ô) ^ I -t- cos a cos /3-f- cos 5 (cos a-h cos /3 )
Comme cos0 est <cos^, y3 étant le minimum de d, si l'on remplace dane le second radical cosd par cos/3, on diminuera df^ et l'on aura une lim t
280 RECUEIL D^EXERGICES
trouve sans peine
abdr dB =
ah dr ah rdr
, . ^ r^ a' 6* ah a^-^-h^ — ir
(7) a9 = arccos 1 arccos — ^ —
^' ' II 2/?' h^ — a*
L'équation (5) donne
rdr s] p^->r r^
Si l'on se borne à la partie principale en négligeant r' à
de Tangle des plans qui donnent 6 = 0. ou 9 = /3, savoir :
it
sinasin^g /•* de^ ^
^H-2 co8acos/3H-co8'/3 J^ sind\/(cos5 — cosa)(cos^ — cosfl)
En posant cosd = cosa cos'u + cos^ sin'u, l'intégrale définie devient
/» 'idu w / I I \
I — (cosaco8'«-4-co8i3sin'M)' "" 4 1 « & . a . 5 I
^ /-/-Il çQg çQg • sin — sin - /
oc — iS TC COS ^
sin a sin /3 '
d'où
wcosY(a — ^) . /i I + co8aco8y3 + sin/3sina^
^* V^i+2cosacos^ + cos»]3 '^ V 2 1 h- 2 cosacos/S h-co8*,3 '
mais i+acosacos/S-Hcos^'/S est visiblement <a(i+cosaco8j8+sinasin/9), donc f 1 >■ — •
SUR LA MÉGÀIfIQUE RATIONNELLE. a8l
côté de p', on a
arccos
Ainsi qu'il convient dans une métliode d'approximation, on remplacera le deuxième terme du second membre de l'équation (7) par sa partie principale, et l'on aura
