i/- =: arccos
Dans une première approximation, la projection du mobile décrit une petite ellipse dont le centre est à l'origine j une nouvelle approximation exprime que cette ellipse n'est
pas fixe, mais qu'elle tourne autour de son centre, dans le
même sens que M, avec la vitesse angulaire j—^ i/-« Il
serait facile, en développant quelques termes de dt^ d'avoii* le temps que le mobile met pour passer d'une position à mie autre ^ mais la forme d'intégrale elliptique que nous avons trouvée serait plus convenable pour cet objet.
Le cas où la vitesse initiale serait dirigée suivant la tangente au méridien et où le mobile ne sortirait pas de ce méridien se rapporte au mouvement sur une courbe ^ il se déi^uirait des calculs précédents en y faisant c* et a égaux à zéro. Au lieu de m'y arrêter, je préfère donner l'équation de la tautocbrone sur le paraboloïde \ on a, comime il a été dit pour toute tautocbrone,
dz s , . . dz\c
—-=:-» f»=2c(z — Zo), ds=i
a8a RECUEIL d'exercices
Remplaçons ds par sa valeur, éliminons z et faisons 2p^0 = a*, nous aurons
La courbe forme une suite de festons dont les parties les plus basses correspondent kr = a^ les rebrousse ments à la valeur qui annule le numérateur de dr. Pour a = o, en faisant cp — p^ =zh}^ on a,
dQ = -^ sjh!^ — r\ pB=zhL 4. ^A» — r\
en supposant 6 = pour r = A ; en ce point la courbe toucbe la méridienne, et elle revient au pôle en tournant indéfiniment autour de lui.
150. Déterminer toutes les surfaces telles qu'un corps pesant, abandonné sans vitesse initiale en un quelconque de leurs points et obligé de rester sur la surface, glisse toujours le long d'une ligne de plus grande pente.
Posons, selon l'usage, pour un déplacement sur la surface,
dz z=pdx -f- qdfy dp ■= rdx -t- sdy^ dq = sdx -h tdy.
Les équations du mouvement sont, en désignant le temps par 0, puisque t vient d'être pris dans un autre sens,
^0' ijl-ifp^-^q'
SUR LA MÉCANIQUE RÀTIONlf ELLE . a83
Des deux premières on tire
mais, la trajectoire devant être une ligne de plus grande pente sur laquelle
{2) qdx^pdjrzrzQ^
on a, en divisant par dO et diâerentiant,
djc dr d^.T d^Y dp dr dq dx
^ d^ ^ d9 ' ^ dd' ^ dB^ dQ dQ d9 dB
L'équation (i) devient
dpdy — dqdx=:Of ( r — t) dxdy -h s [dj'^ — dx"^ ) = O ;
et, si Ton tient compte de l'équation (t^),
(3) [r -^ t]pq^ s[c[^ — p') = 0.
Cette équation, ayant lieu pour tous les points de la surface chercliée, est son équation aux dérivées partielles. On aura une intégrale du premier ordre en récrivant
rp -H sa ps -f- qt
^ ' r= ^ 1- on
dx
dz dx
dz dx
or c'est un théorème général que, si deux fonctions des mêmes variables ont leurs dérivées partielles proportionnelles, l'une de ces quantités est fonction de l'autre^ donc
Tout le long d'une section horizontale quelconque, la normale à la surface fait un angle constant avec la verticale; il s'ensuit, d'après un théorème de Joachimstahl, que ces
a84 UEGUEIL D*EXERGIGES
sections sont des lignes de courbure*, mais nous le déduirons de Téquation qui détermine ces lignes ou plutôt leur projection sur le plan des xy :
Si Ton y remplace s par sa valeur tirée de Téquation (3) et si Ton divise par (i-f-y')r — (i -+-/?*) «, on a
d'où
pqdy^ -\- (/?* — 'q'^')dxdy — pqda:^z=iO\ dx q dx p
Le premier système, ou pdx+qdj^^ o, comprend les lignes de niveau; l'autre système est formé, comme l'indique l'équation (2), des lignes de plus grande pente. Je dis que chacune de ces lignes est contenue dans un plan vertical, ainsi que les normales, à la surface aux divers points de la ligne considérée. En effet, au point M d'une ligne de pente, la tangente MT à cette ligne et la normale à la surface sont dans un même plan vertical, comme étant Jtoutes deux perpendiculaires sur la tangente à la ligne de niveau en M 5 au point infiniment voisin, la tangente M'T' et la normale M^N' sont aussi dans un plan vertical; mais, si celui-ci était distinct du premier, il ferait avec lui un angle infiniment petit du premier ordre, et leur intersection serait verticale; or les lignes MT, MN du premier plan coupent les lignes M'T', M'N' du second, sauf des quantités du troisième ordre , et les deux points de rencontre ne sont pas sur une verticale; donc c'est un seul et même plan qui contient les tangentes à la ligne de pente et les normales à la surface. J'ajoute que ces lignes de pente sont superposables, puisque l'angle de leur tangente avec l'horizon, égal à l'angle de la normale à la surface avec la ver-
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. a85
ticale, est donne par une fonction commune de z*^ on peut donc écrire dx = y(z) dz^ x = 4* (^) "+" ^i a: et ^ étant des coordonnées dans le plan de Tune d'elles^ Téquation est la même pour toutes *, les éléments correspondants sont à la même hauteur. La surface peut être engendrée par une courbe plane quelconque dont le plan se déplace en restant vertical ; en considérant le cylindre enveloppe du plan, on peut obtenir le déplacement de la courbe en enroulant son plan sur le cylindre. Les surfaces de révolution, les surfaces canaux à directrice horizontale, les cylindres horizontaux sont des cas particuliers de nos surfaces. Quant à la loi du mouvement, elle est la même que pour un point pesant sur une courbe donnée dans un plan vertical.
151. Lignes géodésiques sur les surfaces de réi^olution et sur l'ellipsoïde.
Lorsqu'un point assujetti à rester sur une surface fixe n*est soumis qu'à des forces dirigées suivant la tangente à sa trajectoire, comme des frottements ou des résistances de milieux, l'accélération centripète n'est produite que par la réaction de la surface, en sorte que le plan osculateur est constamment normal à la surface. Cette propriété caractérise les lignes géodésiques, lignes de longueur minimum, du moins entre certaines limites *, mais le point de vue auquel nous nous plaçons donne un moyen de trouver ces lignes comme trajectoires d'un point libre de toute action extérieure. Les équations générales du mouvement deviennent, dans ce cas particulier.
^»:r N df dt^ ~ A dx'*
d^X N df dt* — A dy^
d'z ^df dt^ ~ ^dz'*
on en tire
v^ — const.,
et, si l'on peut former une autre équation indépendante
a86 RECUEIL D^EXERCIGES ,
de N, on n'aura qu*à éliminer t pour avoir une équation différentielle de la trajectoire.
Soit le point placé sur une surface de révolution
et faisons — = X ; les équations deviennent
dt^ ' dt* '^' dr ^^ ^
On en tire les équations des forces vives et des aires en coordonnées semi-polaires
, dr^-^r'd6*-hdz^ „ , ^Ô dt^ dt
Éliminant dt^
Telle estTéquation des lignes géodésiques. Si l'on appelle fx l'angle que leur tangente fait avec la tangente au méridien du point de contact, on a
tangV — ^^ri^Td? " r^— /!'*
Cette tangente est infinie pour r = w, et ne peut devenir nulle que pour r = oo . Sur un ellipsoïde aplatij d'axes 2 a et 26, l'équation des lignes géodésiques devient
On peut supposer que r parte de la valeur ri] la courbe est tangente au parallèle, elle traverse l'équateur pour r = aj l'angle avec le méridien est alors minimum, puis r redescend jusqu'à la valeur n pour croître ensuite ^ quant a 6, il
SUR LA MÉCAiriQtJE RATIONfTELLE. 287
augmente sans cesse; la courbe oscille entre deux parallèles équidistants de Téquateur.
Sur le paraboloïde, r augmente constamment de tz à oo .
Soit donné Tellipsoïde à trois axes inégaux
Nous supposons a'^h^c\ les équations du mouvement sont
d^x x^ d\y^ j ,dH z
dt^ "~ a"' dO "" fc»' dO "" c»'
Ajoutons ces équations multipliées respectivement par
\ dx \ dy \ dz •
1 dx d^x X dy d^y i dz d^z
, ^ 'di IF '^T^'dt 'dF '^ ?di dF
i I X dx y dy z dz\
\ "" \P'di'^T*'di'^ ?di]'
Multiplions, au contraire, par — » t^» -5» et ajoutons
7* IF '^T^'dF'^7^dF'^\a*'^ T*'^7*) '
mais, en différentiant deux fois l'équation (i), on a
X d^x / 1 dx^ JL^^^ \
â^lF'^ '^[^^dF'^T'dF'^'")'''
1 équation précédente devient
288 KECUEIL d'exercices
Éliminons X entre cette équation et Tëquation (2),
I dx d^x ^ l dy d^y a» dt dO ^ è» dt dt^ ■^"
X dx y dy
• a^ dt~^ b* dt'^'"
I dx^ I dy^ a} dO "^ b^ dt^ "^*"
Les deux fractions sont des différentielles exactes, et l'on a Tintégrale
(j dx^.}^.ldz^\(^.y:,^2\ = A^
\a' dV "^ b^ dt' (? dt^) \a:* fc* &] On a aussi l'intégrale des forces vives
dx^ dy^ dz^
4 dt^ dV dO
de sorte qu'il suflSt d'éliminer dt entre ces dernières équations pour avoir l'équation différentielle des lignes géodésiques
Cette équation ne renfermerait que a: et j^ si l'on tirait z et dz de l'équation de l'ellipsoïde; mais on ne peut séparer les variables. Pour être ramené aux quadratures, il faut recourir aux coordonnées elliptiques. Considérons les deux surfaces homofocales à l'ellipsoïde (i)
(4) snô; + *rrï + ^rrx='.
Si l'on donne à X toutes les valeurs depuis c* jusqu'à £*, on a des hyperboloïdes à une nappe homofocaux à l'ellipsoïde, et qui le coupent, on le sait, suivant des lignes de
SUR Li. MÉCANIQUE RÀTIOKjNELLE . 289
courbure 5 pour X = c', Thyperboloïde se réduit au plan dès xj^ et à celui des zx pour X = i* 5 les intersections avec Fellipsoïde se projettent sur le plan des' xj suivant des ellipses concentriques, dont la dernière, pour X = i*, se réduit à la droite qui joint les projections des ombilics. Donnons, au contraire, à fx toutes les valeurs depuis è* jusqu'à a*, Téquation (5) représentera des hyperboloïdes à deux nappes dont Tintersection avec Tellipsoïde se projette suivant des hyperboles ayant leur axe transverse suivant 0X5 pour (x = a', cette hyperbole se réduit à une droite double dirigée suivant OY. Dans l'espace , ces intersections forment le second système de lignes de courbure de Tellipsoïde. On obtient ainsi sur la surface deux séries de lignes orthogonales qui forment un système de coordonnées définies par les valeurs de X et de jui. U est d'ailleurs aisé de repasser de ces coordonnées aux coordonnées ordinaires : il suffit de résoudre les équations (i), (4) et (5) (Binet a donné un procédé élégant qu'on trouve exposé dans V Algèbre de M. Bertrand) \ on trouve
Il suffit de substituer ces quantités et les différentielles dx^ dy^ dz dans l'équation (3) pour obtenir Téquation différentielle de la trajectoire en coordonnées elliptiques. Un calcul direct, que des considérations de symétrie peuvent abréger, donne
a* b* c* a^b^& Dk S.-G. — /I«c. 19
âpO RECUEIL D^EXERGIGÊS
On a encore
d'où
