X)(fc^-X)(c^-X)"^(a^~p)(6»-f.)(c

(X^p)rfX-^ ^ .(f*-^)^f*^

U suffit de substituer ces valeurs dans Téquation (3 ) pour avoir sa transformée en coordonnées elliptiques. On pourra diviser par (x — X qui n'est pas nul en général, autrement X et [Â seraient égaux à b* qui les sépare, et la trajectoire serait l'ellipse qui a pour axes le plus grand et le plus petit de l'ellipsoïde. L'équation des lignes géodésiques sera, en posant n*/t* = a' i'c*A*,

Xfl?A^ ^ ^rf|X*

a— a') (X— 6^) (X— c») (X— /!') (fx— 0=*) (p— b^) (f*— c'] (ft— «')

Gomme X est compris entre J* et c*, fx entre a' et t*, la constante n* doit donner des signes contraires à X — n} et yi — w* 5 on a nécessairement /ix > n' > X-, w* se déduit d'ailleurs de Téquation (3), connaissant la position et la vitesse initiales. Si /i' <^ i*, X devra varier entre n* et c', [i entre a^ et J' 5 la ligne géodésique sera comprise entre les deux lignes de courbure données par l'hyperboloïde à une nappe répondant à X = w*. Si, au contraire, n'> J', X variera entre J* et c*, fx entre a* et n* j la ligne restera entre les deux branches de la ligne de courbure située sur l'hyperboloïde à deux nappes pour lequel fx = n*. Si /i*= c*, X sera toujours égal à c*, et la ligne géodésique sera l'ellipse prin-

StJIl Li. MÉCiJÏIQl]£ RATIONNELLE. 29 1

cipale située dans le plan des xy] si n* = a*, ce sera l'ellipse du plan des yz. Le cas de /i'= b* est remarquable; les intégrales ultra-elliptiques se réduisent à des intégrales elliptiques; mais surtout, comme X finira par s'approcher de è*, l'intégrale du terme en rfX croîtra indéfiniment; il devra en être de même de celle en d[i^ et par conséquent fi tendra aussi vers A*, et la ligne géodésique passera par un ombilic, puis elle ira à l'ombilic diamétralement opposé, et ainsi de suite. Le mouvement sera, dans tous les cas, uniforme, et, en tenant compte de (6), on trouve

le temps s'exprime par deux intégrales ultra-elliptiques.

Mouvement d'ua point assujetti à rester sur une parabole y*z=z^px et sollicité par une force dont les composantes sont

PX

la vitesse au sommet est pc, [Fuhrmanit.]

Dans la gorge d'une poulie dont le plan est vertical, on a enroulé un fil dont une extrémité pend librement et se termine par une molécule pesante ; on imprime à ce poids une vitesse horizontale dans le plan de la poulie, et Ton demande son mouvement : cas des petites oscillations. (Vikille.)

Déterminer dans un plan vertical un» courbe sur laquelle doit glisser un point pesant pour qu'il descende de hauteurs égales dans des temps égaux ; la tangente au point de départ est verticale. Si le mobile tombe d'une hauteur ^ dans l'unité de temps, la courbe a pour équation 9^^^;'= 8gjr^, (P. Juixiew.)

292 KEGDEIL D EXERCICES

Un point matériel est attiré vers un centre O avec une force proportionnelle à la distance, et sa vitesse initiale est dirigée vers le point O ; sur quelle courbe doit- on Tobliger à se mouvoir pour que sa distance au point décroisse uniformément ? La coiurbe a une équation intégrable et est asymptote au point 0.

Déterminer dans un plan les courbes tautochrones pour un mobile attiré vers un point du plan avec une intensité proportionnelle à la distance. La courbe peut être une bypocycloîde ou une droite, ou une spirale logarithmique, ou une spirale formée de deux branches symétriques, s'éloignant indéfiniment du centre d'attraction. (P. Jullien.)

Déterminer la brachistochrone pour un point attiré vers un centre fixe en raison directe de la distance. On peut employer le procédé élémentaire que j'ai indiqué pour un cas semblable, et l'on trouve une bypocycloîde. (Eulkk.)

Déterminer dans un plan vertical une courbe sur laquelle doit se mouvoir un point pesant pour que la pression soit proportionnelle à la puissance n de sa distance à ime certaine horizontale. On arrive à une difierentielle binôme intégrable quand n est l'inverse d'un entier. (Vamgnow.)

On a une ellipse dont le grand axe 2a est vertical; un point pesant placé dans l'intérieur, à l'extrémité du petit axe, est lancé verticalement avec une certaine vitesse p© ; déterminer Po de sorte que le mobile, après avoir quitté Tellipse, décrive une parabole qui passe au centre. On aura le point où le mobile quitte l'ellipse en écrivant que la pression y est nulle; on trouve

V\ = j^ g. (P. JULLIBN.)

Mouvement d'un point pesant sur une cycloide située dans un plan vertical et dont le sommet est au point le plus bas \ on suppose que l'air exerce une résistance propoitionnelle à la vitesse* La cycloide est encore ici tautochrone» Pour de petites oscilla* tionsy le temps d'une double oscillation est à peu près k même

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. Ugli

que dans le vide, mais les arcs d'écart décroissent en progression gëomëtrique.

On laisse glisser des corps pesants sur différentes droites issues d'un même point,, Tair exerçant une résistance proportionnelle au carré de la vitesse; quel est le lieu des points sur les différentes droites où les mobiles ont une vitesse commune?

Déterminer dans un plan vertical une courbe AMB, telle qu'un mobile pesant, lancé du point A avec une vitesse convenable et soumis à une résistance proportionnelle au carré de sa vitesse, atteigne un point quelconque M avec une vitesse égale à celle qu'il aurait en tombant verticalement dans le même milieu d'une hauteur verticale égale à l'arc MB. L'équation de la courbe, en plaçant l'origine en A, est de la forme

^(ar-f-j) = i — c-^*'. (W. Walton.)

Trouver les lignes géodésiques sur un héliçoïde droit à plan directeur, ou surface de la vis à filet carré.

On peut écrire l'équation de l'héliçoîde

z=za arc tang - > ou z = a 9,

en prenant des coordonnées semi-polaires. On trouve aisément d^x d^y d^r f/G» dr^ , ^ rfô' ,

dt^^^dt^ do do dt^ ^ Ut^

d'où

d^r r I dr^

dt^ a'-t-r^ \ dt'

On peut intégrer :

il suffit d'éliminer dt pour avoir l'équation différentielle des projections sur xy»

Mouvement d'on point pesant assujetti à rester dans un tore dont Taxe est vertical, la vitesse initiale étant tangente au parallèle inférieur; cas où cette vitesse est petite. On trouve que le point n'arrive jamais à la partie où les courbures sont de sens contraire.

Un point lié à un point fixe par une tige sans masse est attiré vers un centre éloigné ; les petites oscillations ont une durée proportionnelle à la distance du centre attractif; loi de l'attraction.

SUR LA MÉGÀiriQUfi RATIONNELLE. ^qS