Troui^er sur une parabole dépolie dont Vaxe est
vertical le point le plus bas où puisse rester en équilibre
un corps pesant, attiré vers le foyer par une force réci-
proque au carré de la distance, et qui est égale au poids
quand le corps attiré est au sommet : le coefficient de
frottement est •= •
Soient p le demi-paramètre, r la distance du foyer au point cherché, a l'angle que la normale en ce point fait avec le rayon vecteur et avec la verticale \ en prenant le poids du corps pour unité de force, Tattraction du foyer
sera -^^ : projetons les forces sur la normale et sur la tangente, on aura, si le point considéré est la limite des positions d'équilibre,
N = cosa(,-^^), |N=sina(,-^^^).
On trouve aisément que r = — \ remplaçons-le par
cette valeur, et éliminons N :
sina(i — ces* a) — ^cosa(i -h ces* a) = o
ou
Stang^a — 3tang<a -h iotang*a — 6tang^a — 6 = o.
U j a la solution tanga = i^ si on la supprime, il reste Téquation
Stang^a + 2 tangua -4- latang'a + ôtanga -4-6 = 0,
qui n'a plus de racines positives. Le point cherché est à Tintersection de la parabole et de Thorizontale menée par le foyer, où la tangente fait un angle de 45 degrés avec Taxe.
16. Etant donné un point pesant sur un plan dépoli, incliné d'un angle i à l'horizon, déterminer l'intensité de la force ayant une direction i/uelcomjue donnée, qu'il faut appliquer au corps pour qu'il soit sur le point de glisser.
Prenons pour axe des x la ligne de plus grande pente du plan dans le sens descendant, pour axe des y l'horizontale du point (O), pour axe des z la portion de la normale au plan située au-dessus ] définissons la direction donnée par ses cosinus directeurs a^ fi^y. Soient F la force correspondante, P le poids du corps ; les composantes des forces extérieures auxquelles il est soumis sont
X = Psm/-^Fa, Y=i:Fp, Z^Fy — Pcosî.
Le corps étant posé sur le plan exerce sur lui une réaction — Z dirigée en-dessous ; la composante, située dans le plan,
qui tire le point, est ^X' -I- Y' ; on a donc, si l'équilibre est près d'être rompu,
V^(Fa-r-PsinO»4-F''~P» =/(P ces/ — F7).
Pour étudier la manière dont varie F quand sa direction change, portons sur chaque direction une longueur proportionnelle à la valeur correspondante de F, P étant représenté à la même échelle par une longueur a ; le lieu
aa RECUEIL*^ d'exercices
des extrémités de ces droites représentatives a pour équation
(i) ^(•^+ asmiy-^ jr^ =:tàng<f (a cosi — z).
C^est la nappe inférieure d'un cône droit : le sommet a pour coordonnées — asini, O, acosi'^ Taxe est perpendiculaire au plan, et fait avec les génératrices l'angle cp. (La nappe supérieure répondrait au cas où le mobile serait en dessous du plan.) Lorsque 9^1, le point O est à l'intérieur du cône ; pour les directions au-dessus du plan, F aura une seule grandeur, et il en sera de même si F est dirigée audessous du plan, mais fait avec l'axe du cône un angle >ç; si l'angle est <^ç, la demi-droite correspondante ne coupe plus le cône, et, pour ces directions, le problème est impossible. Soit maintenant cp<^i; l'origine est en dehors du cône, en sorte que certaines droites ne le rencontreront pas, et pour celles-là le problème est impossible 5 d'autres le coupent en deux points, et la force correspondante a deux valeurs. Il faut remarquer que, dans chaque cas, le glissement se fait dans la direction indiquée par les composantes X, Y^ cette direction n'est pas liée d'une manière évidente a priori à a, (3, y^ mais elle est parallèle à la trace du plan méridien qui contient l'extrémité de la droite représentative de la force.
Du point O on peut mener deux normales au cône, et Tune a une longueur minima ^ elle fait avec le plan l'angle (f, et est au-dessus si qp ^ i, au-dessous si y <[ 1 5 c'est la force minimum qui mettra le corps sur le point de glisser. La seconde normale n'est minima que parmi les droites comprises dans le pian méridien de l'origine ^ elle fait l'angle cp au-dessus du plan, et c'est la direction la plus avantageuse pour faire remonter le corps suivant la ligne de plus grande pente.
Si, dans une direction donnée, on applique une force re-
SUR LA MÉCANIQUE RATIOIiNELLE. 23
présentée par une droite qui se termine à l'intérieur du cône, il n'y a pas mouvement; car, pour Textrémité de cette droite, le premier membre de Téqualion (i) est moindre que le second; la composante tangentielle est <CN/*. Si l'extrémité de la droite qui représente la force est extérieure au cône, il y aura mouvement dans le sens de la droite dont les projections sont X et Y.
Lorsqu'on donne la grandeur de F et qu'on cherche sa direction, on voit que cette force doit se trouver sur un cône ayant O pour sommet et pour directrice l'intersection du cône étudié précédemment avec une sphère dont le centre est O, et le rayon égal à la droite qui représente F.
17. On donne un paraboloïde xy :=^ az rapporté à trois axes rectangulaires, l'axe des z étant 'vertical] un poids P est placé sur sa surface dépolie, et repoussé de Vaxe des z par une force horizontale, proportionnelle à la distance du point à l'axe, et qui serait égale à P pour la distance a ; lieu des points où P est près de glisser.
La force qui sollicite le point a pour composantes — - ?
— > — P ; il suffit d'écrire qu'elle fait avec la normale en x^jr^z l'angle de frottement
a cos^-
î *\ rw T J rt^
2XX -h a^ iaz-\-a
La courbe cherchée est donc à l'intersection du paraboloïde équilatère avec un paraboloïde de révolution ayant même axe : c'est une courbe gauche à branches infinies.
Un poids placé sur un plan incliné dépoli est près de remonter suivant une ligne de pente sous l'action d'une force horizontale donnée : calculer l'angle du plan avec l'horizon.
Déterminer sur un ellipsoïde à axe vertical la zone sur laquelle on puisse poser un point pesant sans qu'il glisse (cette zone est quarrable) •
Un poids est posé sur un plan dépoli et tiré par un fil situé dans le même plan vertical que la ligne de pente du point donné ; le fil passe sur une très-petite poulie et soutient à sa seconde extrémité un second poids qui pend hbrement : figure d'équilibre.
St7R LÀ HÉGANIQUE RATIONITELLE . ^5
