TT I

Pour un demi^cercle © = - ; a* = i* = - R'.

Le carré du rayon de gyration relatif à la droite qui fait des angles a, (3, y avec les axes est, j)ar conséquent,

K^=: ~ RM I -V- cos'7 -+- (cos*p — cos'a) î^^^ .

176. Moments d* inertie de taire d'une ellipse autour de ses deux axes et de la normale à son plan, menée par le centre; cylindre elliptique.

Soient a, |3 les demi-axes. A, B, C les moments demandés, on a

Pour calculer A, j'intègre d'abord par rapport à x, et je trouve

Posons/ = P cosy, dy = p sinf c^cp, et nous aurons On en conclut immédiatement

B = 2 ira'p, C = A -+- B . = i îrap (a»+ p»).

Les rayons principaux de gyration sont - P , - a , - y/^a'-f-P* .

Ce dernier serait le rayon de gyration d'un cylindre elliptique droit autour de son axe ] quant au carré du rayon relatif au grand axe de la section moyenne du cylindre, c'est, en désignant la hauteur par a A,

177, Moment d'inertie d'un ellipsoïde homogène par rapport à ses axes et à la diagonale du parallélépipède rectangle circonscrit.

Je désigne par «, P, 7 les demi-axes et je pose

hzrzJJJx'dxdiydz, h'^fy^dm, h!'=Jz'dm.

Dans A, si on laisse x constant, l'intégrale relative à j^ et à z est Taîre de l'ellipse suivant laquelle rellipsoïde est coupé par le plan parallèle au plan jz à la distance x ^ donc

On trouverait de même }J ^xh"\ et, comme les moments principaux d'inertie sont A'-hA^V--? on en déduit les

368 KECUEIL b'eXBKGICES

carrés des rayons de gyration

Le carré du rayon relatif à la diagonale du parallélépipède circonscrit est

Le rayon de gyration d'une sphère autour d'un diamètre

estRy/|.

179. Moment d'inertie d'un triangle ABC par rapport à disperses droites; conséquences pour un polygone régu* lier, pour une pjramide régulière.

Prenons pour origine O le centre de gravité du triangle, pour axe des x la médiane OA, dont la longueur totale est m, pour axe des y une parallèle à BC^ soit 9 Fangle des axes \ le moment d'inertie relatif à la médiane est

1=1 dxfy^ sin^Bdy

nm r^ ma^sin'O z=zii \ dx ï y^ swi^^dy = ~ — 5

a , j3 , y sont les côtés du triangle ; sa surface est S = - /tz a sin Q\

donc

Les moments d'inertie par rapport à OA, et, par analogie, les moments relatifs à OB et OC sont inversement propor-

SUK LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. 36q

tionnels aux carrés de ces droites 5 Tellipsoïde central en O

coupe le plan du triangle suivant une ellipse E homothé-

tique à T ellipse E' circonscrite à ABC et ayant son centre

O 5 le rapport de similitude est mi/— : ^m = -i/— 5

le demi-diamètre de E' parallèle à BC est---, celui de E

sera — ==5 et le moment d'inertie correspondant I' = -^«

Le moment d*inertie autour d'une perpendiculaire en O au plan du triangle sera

= -T-— =3 - ma smô -7 + -0 | =^ S ^ '- .

sm^e 2 \24 18/ 36

Le carré du rayon de gyration, relatif à une normale au plan menée par A, est

Considérons un polygone régulier de n côtés, dont l'apothème est m, l'aire S, le côté a et le rayon du cercle circonscrit R5 par le centrp de ce cercle, menons deux diamètres rectangulaires OX, OY et une perpendiculaire OZ; le moment d'inertie autour de OZ est la somme des moments des triangles ayant O pour sommet :

Les moments autour de OX et de OY sont

A =JJy^dxdy, B ^JJx^dxdy,

dk s.-g. — nec. 24

SyO RECUEIL D^EXEUGICES

nous avons comme pour une aire plane quelconque A 4- B = C 5 ici il est clair que A = B -, chacun vaut - C.

Soit maintenant une pyramide régulière dont la hauteur est h et dont la base a pour côté a, pour rayon R, pour aire S-, le résultat précédent donne le moment d'inertie autour de la hauteur

Le moment relatif à une droite menée par le sommet perpendiculairement à l'axe se calcule en observant que cette droite est parallèle à un diamètre du cercle circonscrit à la base d'une de nos tranches, et qu'elle en est à une distance égale à celle du sommet à la section \ donc

= lv(4«M-R.-l')

On en déduit les moments d'inertie des polyèdres réguliers et du cône droit.

179. Moments d'inertie d'un tore autour de son axe ou d'un diamètre de son équateur.

Soient R le rayon du cercle générateur, a la distance de son centre à Taxe 5 a:,j^, z les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque M, u sa distance au centre P du cercle générateur dans le plan duquel il est contenu, ^ l'azimut de ce plan, 9 l'angle de PM avec Taxe du tore^ le système de coordonnées m, i(^ et 6 est souvent utile quand on considère un tore, et donne

j:= (a -4- Msinô) cos>j/, 7= (« -h «sinO) sin^p, a = i£C0s9.

On pourra découper le plan du cercle en petites surfaces

ududO qui, en tournant autour deOZ, engendrent des volumes [a -^ u sind) u du dQd^'^ on a pour le volume du tore

' d^ I dB j udu[a'{-usinB)=iin^aK\ O V O «^O

Le moment par rapport à Taxe du tore est, en intégrant entre les mêmes limites,

C =fff[a -i- u sm^YududBd^ = 2ir'aR» («'-I- 7 rA •

Les moments autour de OX et de OY sont I^=fff[y^~^z')dxdydz=.Ji=ffJ[x^-^z^]dxdydz = ^'^'^

A r= B = ~SSS\.[^ 4- ttsinO)'-!- 2a*cos»ô](â5 + u sinô) ududBd^

= 2Jr^«R' (^«'+ûR')

180. Condition pour quune [droite soit axe principal d'inertie.

Supposons qu'une droite OZ soit axe principal par rapport à l'un de ses points O5 prenons deux droites OX et OY qui forment un système de coordonnées rectangulaires avec OZ, et nous devrons avoir

2/narz = o, i/nj^z^o.

Quand ces conditions ne sont pas vérifiées, on peut cherclier si OZest principale par rapport à un de ses points 0\\ si 00'= A, on aura, par analogie avec les conditions précédentes,

^mx[% — A)=:o, ^m[z — A)j = o.

Soient j:i,j^i,^i lés coordonnées du centre de gravité, M

Zy2 RECUEIL D'£X£KGtCES

la masse totale -, ces relations deviennent

En écrivant que ces équations donnent la même valeur pour A, on obtient la condition demandée

Une droite ne peut être axe principal pour deux de ses points, sans l'être pour tous et passer au centre de gravité. Cherchons la condition pour qu'une arête AB d'un tétraèdre soit axe principal en un de ses points. Du milieu M de l'arête opposée CD, j'abaisse MO perpendiculaire sur AB, et je prends OM pour axe des x, AB pour axe des z avec un axe des y perpendiculaire ; le plan ZOX étant diamétral pour le tétraèdre, j^i = o et l'on doit avoir "Lmyz = o. Divisons le volume du tétraèdre en petits prismes parallèles à CD^ le milieu de chacun de ces prismes est dans le plan ZOX, et ses éléments ont deux à deux des y égaux et de signes contraires ^ si les arêtes du prisme ne sont pas perpendiculaires à OZ, les éléments dont Yy est ^ o auront un z toujours plus grand ou toujours plus petit que ceux dont l'j^ est <^ o, et la somme ne sera pas nulle. Il faut donc et il suffit que CD soit perpendiculaire à la direction de AB.

181 . Etant donnés les axes principaux OX, OY, OZ, relatifs au centre de granité et les rayons de gyration correspondants a^b^c^ trousser le rayon de gyration pour une droite quelconque MR passant par un point M \ axes principaux pour ce point; discussion et conséquences.

Soient Xi,yi,Zi les coordonnées de M par rapport à OXYZ, r la distance OM, a, P, y les cosinus directeurs de l'axe MRj pour une parallèle OR' à MR, le carré du rayon de gyration serait a' a' -h A'/3*H- c'y^^il suffit d'y ajouter le

SUR LA MÉCÀiriQDE RATIONNELLE. ^J^

carré de la distance de M à OR', et l'on a

ecXi -h ^yt H- 7^1 est la distance de l'origine au plan P, mené par M normalement à MR. Imaginons une surface homofocale à l'ellipsoïde £ dont les demi-axes sont a^b^c^ écrivons son équation

et déterminons X de manière que cette surface soit tangente au plan P,

la condition de contact s'obtient en identifiant cette équation avec celle d'un plan tangent à la surface (2), et éliminant les coordonnées du point de contact \ on trouve

X n'a qu'une valeur X'5 il y a donc une seule surface du système (a) qui touche P, et, si l'on remplace dans (i) aXi -h ^yi -hyzi par sa valeur, il vient

En M passent trois surfaces homofocales (2), répondant aux paramètres X,, Xj, Jj ^ soit X^ <^ Xj <^ X3 5 à X = Xi correspond un ellipsoïde et, pour X<^Xi, (a) représente un ellipsoïde qui enferme le point M 5 de même, pour X > Xj, (a) représente un hyperboloïde à deux nappes et M est dans sa partie concave 5 donc, si X est <C^i ou }> X3, on a des surfaces auxquelles on ne peut mener de plan tangent P par M. Le minimum de A* est r' -H X^^ alors MR est normale à l'ellipsoïde homofocal de E qui passe en M^ le maximum de k* est r'+ Xs et l'axe MR du moment maxi-

ij4 EECHEIL d'exercices

mum d'inertie est la normale à Thyperboloïde à deux nappes y ces deux normales sont deux des axes principaux pour le point Mj le troisième est donc la normale à Thyperboloïde à une nappe (2) qui y passe, et le rayon de gyration correspondant est r*4- Xj.

Puiscpie pour chaque point les axes principaux sont les normales des surfaces homofocales à E qui y passent, et que les rayons de gyration principaux sont égaux à r* augmenté du paramètre qui définit ces surfaces, on est ramené à discuter Téquation

Pour que deux des moments principaux d'inertie en M soient égaux, îi faut que Féquation (3) ait une racine double; si a, &, c sont différents, cela donne trois lieux différents pour le point M •, ce sont les focales de l'ellipsoïde £.

Xi = o, • , * , -h — — î— - = I , ellipse imaginaire; o' — a' c* — a^ '^

rt=o, —-Lj^-^.—l^^ = i, hyperbole;

z, = 0, • ', -+- ' =1, ellipse.

Les trois moments principaux ne peuvent devenir égaux en certains points, que si b est égal à c ou à a. Soit &= c, pour que les trois racines de (3) soient égales, il faut que leur valeur commune soit i, et alors

Pour i == a, on trouve deux points imaginaires.

Le lieu des points pour lequel un des rayons principaux a une valeur k s'obtient en écrivant que l'équation (3)

admel la solution X = A' — r*.

•^ -h— ; I=rO.

Si k est supérieur à a, i et c, on a la surface des ondes de l'optique-, sinon on en a une variété qui est comme elle du quatrième degré, mais possède des nappes infinies.

Veut-on trouver les points pour lesquels les rayons principaux aient des valeurs données h^k\k"^ on a le système d'équations

"T~ • • • — I } , . ; Th^ "T~ • • • — I •

On résout ces équations par le procédé de Binet [voir n® 151), et Ton trouve

Cette équation fait connaître r, et les précédentes donnent ensuite x^y^z. On voit que A' -f- A'* H- Ar "* doit être

Chaque propriété des familles de surfaces homofocales donne une propriété des axes principaux, et réciproquement. Ainsi un plan quelconque est tangent à une surface du système •, il est plan principal pour le point de contact et pour ce point seulement. Toute parallèle à un des axes de £ est normale à celle des surfaces qui se réduit au plan des deux autres axes de E; elle est axe principal au point où elle perce ce plan. Le lieu des normales qu'on peut

376 RECUEIL d'eICERCIGES

mener d'un point fixe aux surfaces homofocales est un cône du deuxième degré : c'est le lieu des droites qui sont prin cipales pour un de leurs points.

MouYement autour d'un axe fixe.

182. Considérons un système d'axes coordonnés rectangulaires et un solide dont deux points A et B sont fixés sur l'axe des z 5 le solide ne peut que tourner autour de OZ, et il est soumis en A et 6 aux réactions dés appuis dont nous désignerons les composantes par Xi,Yi,Zi, X,, Yj, Zj. Soient a et J les z des points A et B, X, Y, Z une des forces extérieures, appliquée en x^y^z^ il suffit d'écrire les théorèmes généraux sur l'accroissement des projections et des moments des quantités de mouvement du système, pour avoir six équations d'où l'on déduit le mouvement du corps et les réactions aux points fixes. Ces équations sont de la forme

2/w— =2X-f-X, -f-Xî,

Soient 6 l'angle dont le corps a tourné à l'époque f , w la

vitesse angulaire —5 et w'= — , ari,j^i, Zj les coordonnées

du centre de gravité G, M la masse totale, I = MA:* le moment d'inertie autour de OZ, Yiinyz = a, Yiinxz = f3-, on a, en observant que chaque point décrit un cercle autour deOZ,

dx d^x

dt '^^ dt^ ^'

d^y , , dH

dt^ ^ ^ dV

et les équations du mouvement donnent

X| -f-Xj-h2X4-M(»»a?i -h 0»'^-, ) = o, Yi -hT, -f-2Y-4-M(«»jr, --w'a:»)=:0,

. . . Z| H- Zj -f- 2Z = o,

^ ^ ^ aYt -f-^'T, — 2(rZ— «Y)-4-«>a — »'p=:o,

«X, -f- ^^Xî — 2(arZ — zX) 4-w'p4-w'a = o, .

MA»«' = 2(a:Y— ^X).

La dernière donne la loi du mouvement ; les première, deuxième, quatrième et cinquième, Xj, Xj, Yi, Y, ^ la troisième donne la somme Zi + Z,, mais Zi et Z, ne peuvent être déterminés isolément, ce qui tient à l'hypotlièse d'une rigidité absolue du corps mobile.

Supposons que les forces extérieures se réduisent à un couple dont le plan soit perpendiculaire à Taxe : on a Zi -H Zj = o, et il est naturel d'admettre que Zi et Z, sont nuls séparément; les réactions des points d'appui sont perpendiculaires sur l'axe, et leurs composantes données par les équations

Pour que les deux réactions aient une résultante R, il faut et il suflSt qu'elles soient parallèles; XjtYi ::Xj:Y,; cette proportion conduit à l'égalité équivalente

X, 4- Xa «Xi H- ÔX, «'a?! ■+■ (ù'Xt w' p -I- w'a

Y, 4- Ya""'aY, -f- 6Y/ w^i — w'ar, "~w'a~»'p'

Effectuant les calculs, cette dernière donne

(to* 4-»")(a7, — px,) = o;

il faut

*-P''*iî/if

c'est-à-dire que Taxe fixe est axe principal pour l'un de ses points O. Supposons que l'on prenne ce point pour origine des coordonnées, a et P deviendront nuls, et les équations où ils entrent donneront

les moments de Xi et de Xi, de Yi et de Yj par rapport àO étant égaux et de signes contraires, la résultante passe en ce point, et est contenue dans le plan principal conjugué à l'axe de rotation. On peut faire passer le plan des zx par le centre de gravité, y^ est nulle, et les projections de R sont

X, -4- Xa = — Mw'ar,, Y, -h Y, =: Mw'x,.

Cette force, composée avec le couple accélérateur dont le moment est MAr'o)', donne une force unique, égale et parallèle à R, rencontrant l'axe des x en un point dont l'abscisse

est =z ^r = — % cest le centre de percussion du solide

Y, -h Y, or, ' ^

relativement à l'axe fixe.

On peut demander que la réaction d'un des points fixes A soit nulle : c'est dire que l'action de l'axe se réduit à une force unique appliquée en B 5 l'axe doit être axe principal pour ce point. Si les deux réactions étaient nulles, l'axe serait un axe principal passant au centre de gravité : dans le premier cas, c'est un axe permanent de rotation, dans le second, un axe naturel ou spontané.

183. Un parallélépipède rectangle homogène pesant est fixé par les extrémités P, Q d'une de ses arêtes^ qui est "verticale : quelle vitesse faudrait-il lui donner pour que le point fixe inférieur Q n'éprouvât aucune pression?

Si l'on prend pour origine le milieu O de PQ, et pour axes des parallèles aux arêtes, dont je désigne les longueurs

SUR LA MÊGANIQtJE RATIONNELLE « ijg

par 2a, ai, ac, ona Xi = a, )r, = J, ^^ = o, a =:/3 =o, et les équations (A) deviennent évidemment

• X, + Xj + M(w»«-+-w'^»)=:0,

Yi -i- Ta + M(«»«» — w'a) = G, Z, 4- Z2 — Mg' = o, c(T, — ¥,)-+- ^Mg'r^O, c(Xi-— Xj) -4- Mag=zOy

La vitesse angulaire conserve la valeur constante w, et si l'on veut que Xj = Yg = o, on déduit des équations précédentes

X| 4- Ma«» rr: Y, -h Mèw» = cT, -f- M^'g' = cXj -f- m.ag = o.

Pour qu'elles soient compatibles, il faut et il suffit que c(ù^ = g] la reaction en F a pour composantes 2->

9 Mg'^ sa direction prolongée passe au centre du pa-

rallélépipède.

184. Déterminer la forme d'un pendule composé, assujetti à certaines conditions , de façon à rendre minimum la longueur du pendule simple synchrone.

Étant donnée une certaine quantité de matière, on peut en former un pendule composé qui oscille aussi vite ou aussi lentement qu'on voudra^ il suffit d'en former une trèslongue aiguille et de la faire osciller autour d'une parallèle à son axe qui en soit très-voisine, ou d'une perpendiculaire à cet axe. Mais, si l'on impose certaines conditions à la forme du pendule, le problème de rendre minimum le pendule synchrone admet une solution finie. On sait que, si a est la distance du centre de gravité à l'axe de suspen*

38o RECUEIL d'exercices

sion, h le rayon de gyration autour d'une parallèle à l'axe menée par ce centre, la longueur du pendule synclirone

est / = a H ; la forme du pendule étant donnée, l ne

peut être minimum que s\a=zh\ alors 1= nk^ et l'on est ramené à former un corps de masse et d'espèce données, tel que son moment d'inertie, par rapport à un axe de direction donnée passant au centre de gravité, soit minimum. Il faut pour cela que, si l'on enlève ou qu'on ajoute une masse infiniment petite en des points quelconques de la surface, sans que cette surface cesse de remplir les conditions géométriques qui lui sont imposées, le moment d'inertie autour de l'axe choisi éprouve une variation infiniment petite, indépendante de l'endroit qu'on a creusé ou renforcé : sinon, en enlevant de la matière aux points les plus sensibles pour la rapporter en d'autres moins sensibles, on diminuerait le moment d'inertie, qui, par suite, n'eût pas été minimum.

Supposons que le pendule cbercbé doive être un cylindre droit, d'épaisseur h et de masse m, [oscillant autour d'une parallèle à ses génératrices, et considérons la parallèle OX par le centre de gravité O. Si l'on veut retirer une petite quantité de matière sans altérer la forme du pendule, il faut que cette petite masse soit répartie uniformément le long d'une génératrice : pour que la diminution correspondante du moment d'inertie soit constante, il faut que toutes les génératrices soient équidistantes de l'axe ^ la base du cylindre sera un cercle, et l'axe de suspension passera au milieu du côté du carré inscrit.

Demandons que le pendule soit de révolution autour d'un axe qui coupe à angle droit l'axe de suspension. Soit OX la parallèle à ce second axe par le centre de gravité : la masse dm qu'on enlève doit être répartie uniformément le long d'un parallèle de la surface; si y est le rayon, z la

SUR LA MÉGAlflQTTE RATIONNELLE. 38 1

distance du plan du parallèle à Faxe, la variation du moment est

dm.

Pour que ce soit une constante, il faut que Téquation de la surface soit

c'est un ellipsoïde de révolution aplati dont le volume, égal au volume donné, est ^ tic' ^ et Ton aLk=ci/ •=•

18S, Une planche rectangulaire homogène est fixée aux extrémités A et "B d'une de ses arêtes qui /ait un angle i auec la ^verticale; moui^ement de la planche quand on l'écarté de sa position d'équilibre; réaction des deux gondsé

Je prends AB pour axe des z, son milieu O pour origine, la perpendiculaire à ÂB contenue dans le même plan vertical que cette droite pour axe des x et une perpendiculaire à ces deux droites pour axe des y^ soient aa = AB, ac la largeur de la planche. Le poids mg est appliqué au centre de gravité G, et ses composantes sont

X = mg sin/, Y = o, Z = — mg cosi; on a évidenmient

J'appelle 6 Tangle du plan de la porte avec ZOX et Xj, Yi, Zi, Xs, Yj, Zi les composantes des réactions de A et de B.

382 BEGUEIL D*EXERGIGES

Les équations générales deviennent

X, H- Xa -i- mg sin/ -l- wwr ( w* cosO -{- w' sin 0) = o, y, -f-T, -h mc(6i'5inO — u'cosG) = o,

(l) I Z| -h Zj — Wg^COSI^rO,

«(Y| — Yj) -4- cmg cosi sinO = o, a (X| — Xj) H- cmg' cos/ cosO = o,

^ /wc'w' = — cmg sinO sîn/.

La dernière donne, enmultipliantpar (x>dt = d6 et intégrant,

2c(w' — ftij) =: 3g'(cosO — cosOo) sin/\

Les oscillations sont isochrones à celles d'un pendule de longueur ^ . . ■ Les premières équations (i) nous donneront Xj, Xt, Y^, Y,^ mais, il est un peu plus simple de chercher les composantes des réactions dans le plan de la planche, parallèlement à OG, et suivant une normale à son plan; je désigne ces composantes par P|, P,, Ni, Ng et

je pose

, 3g sine, . .

w» = --2 (cosô— ^1;

A est <^ — I si la rotation est continue. On a d'ailleurs

P = XcosO 4- YsinO, N=: YcosÔ — XsinO;

si donc on ajoute la première et la deuxième équation (i), après les avoir multipliées par cos0 et sinS, ou par — sind et cosd, on a

Ajoutons au contraire la quatrième et la cinquième après

, . ,. , sinO cosO cosO sinO avoir multiplie par et 5 ou par et 5 on

trouve

^ « cms^cosi

On peut ainsi calculer immédiatement les P et les N. Comme Ni = Ni, sans que P| soit égal à Pj, les deux réactions n'ont pas de résultante, à moins que cosi ne soit nul, c'est-à-dire AB horizontal^ alors

P,=P, = ^(3A — 5cosO), N,=z:N,r=:^sinO.

9r Ni

Si 0)0 = o et 60 = -9 h est nul et— = tangO; la tan-

2 Pi 10 ° '

gente de l'angle de la réaction avec le plan de la porte est

proportionnelle à tang9.

186. Oscillation d'une aiguille aimantée mobile autour d'un axe horizontal qui passe par son centre de granité O ; influence du frottement qui s'exerce sur l'axe quand l'aiguille oscille dans le plan du méridien magnétique.

L'influence de la Terre sur une aiguille symétrique par rapport à son centre de gravité peut être représentée par l'action de deux forces F égales, parallèles et de sens contraire, appliquées en deux points P, P', symétriques par rapport à O 5 l'angle i de ces deux forces avec l'horizon est la déclinaison, et le plan vertical qui leur est parallèle est le plan du méridien magnétique. F peut être remplacée par une composante verticale F sini, et une composante horizontale Fcos tj si doncl'axe de.raîguille fait l'angle a avecle méridien magnétique, Fcos i se décompose en deux autres, Fcos i sina, dans le plan où peut se mouvoir l'aiguille, Fcosicosa parallèle à l'axe : l'aimant sera en équilibre quand l'angle i'

de P'P avec Thorizon est tel que

cot«'= sînacot/.

Écartons PP' d'un angle 6 de sa position d'équilibre*, si PP^= 2/, r aimant est soumis au couple

2F/ sin9 v^sin'/ -4- ces*/ sin'a ; en appelant mk* le moment d'inertie, on a

/w^'w'zz:— 2F/smO ^i — C05'/C0S*a, OT^»(w* — wj) = ^Fl{cosB — cosOo) v/ï — cos^/cos'a.

L'aiguille prend un mouvement pendulaire, d'où l'on déduit l'intensité des forces F. Supposons l'aiguille assujettie à rester dans le méridien, a = - • Soient p le rayon

de l'axe de suspension, 2 a la distance des points d'appui, dont le milieu est en O ^ je prends cet axe pour axe des z, l'axe des y étant suivant la direction d'équilibre et l'axe des X perpendiculaire aux deux autres^ et je désigne par 8 l'angle de OP avec OY, le sens des angles positifs étant

tel que pour OX, 0= • Les composantes du poids sont

— mg sini, mg cosi et o, tandis que F est parallèle à OY. Par raison de symétrie, les points d'appui n'ont pas à fournir de réaction parallèle à OZ5 leurs actions, égales entre elles, ont pour composantes X et Y j la force de frottement en chaque point d'appui est donc sinç y/X^-f- Y*. Comme a:i,j^i, Zi, a, |3 sont nuls, les troisième, quatrième et cinquième équations générales deviennent des identités, et les autres donnent

2X — mgsmi=:o^ 2Y -{- mgco&i = o, /»^*»'= — 2F/ sinô -f- 2p siny y^X» 4- Y».

513 R LA Mé€ANIQUE RATIOlïlfELLE. 385

Le Signe du dernier terme est pris en supposant que parte d'une valeur initiale positive X pour décroître. On tire de nos équations

La réaction de chaque appui est toujours verticale et égale à la moitié du poids. L'équation du mouvement devient

iifA»w' = — ^FlsmB-^mgpsintf».

Pour que le mouvement naisse, il faut

aF/ sinX ]>> mgf sin^ ;

s'il en est ainsi, intégrons en multipliant par 2(ùdt = 2d6^

;/?iX'0**=4F^(cO5Ô — COSX) -f- 2OTg^p($ — \) siof.

Cette formule est applicable jusqu'à ce que ait atteint une valeur X, pour laquelle o) s'annule. A cause de la petitesse de psin(f, X4 ne diffère pas beaucoup de — V? écrivons que w* s'annule pour 6 =. — X -+- /i,

2F/[cos(X — A) — cos^] — . /»^p(aX— h) stn^ = 0.

Développons cos(X — h) par la formule de Taylor, et négligeons les termes du deuxième ordre :

2¥ln smX — ^mgpk sm«p = 0, A = ^, . , ;

si X est peu considérable, -r-r diffère peu de i, A est sensiblement constant, et l'on voit que l'amplitude des oscillations décroit suivant une progression arithmétique^ quand

le sinus de celte amplitude est devenu <; — ^ > l'aiguille

s'arrête, faisant eu général un petit angle avec OY. Db s.-g. — Rec, 25

386 RECDEIL D^EXERCIGES

Monrement antoar d'un point fixe.

187. Considérons un solide assujetti à tourner autour d'un point O et sollicité par des forces quelconques^ le mouvement élémentaire est une rotation autour d'un axe instantané 01, et il suffirait de connaître la grandeur et la direction de la droite 01 == w qui représente cette rotation à chaque instant pour être ramené à une question de Calcul intégral. Menons trois axes rectangulaires fixes OXi,OYi,OZi; la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à OXj est de la forme

la dérivée est égale à la somme des moments des forces extérieures, mais elle est difficile à calculer à cause des 2 qui y figurent et qui varient avec le temps. Aussi Euler a-t-i! cherché les projections p^ ^, r de 01 sur les axes principaux OX, OY, OZ relatifs au point O ^ ces axes sont mobiles, mais aussi il suffit de connaître leur position à un instant donné pour avoir celle du corps. Supposons les systèmes OXYZ, O Xi Yj Zi, disposés de manière que OX représente Taxe de la rotation de OY vers OZ, et ainsi de suite -, Euler considère la trace OP du plan XY sur le plan Xj Yj, et désigne par ^p Tangle dont il faut faire tourner OX^ dans le sens positif pour l'amener sur OP, par <f l'angle dont OP doit tourner pour aller sur OX, enfin par 6 l'angle du plan XY avec XiY, . L*angle Q s'évalue en prenant les parties des deux plans que décrirait d'abord dans chacun d'eux une droite qui se mouvrait dans le sens positif à partir de OP; quand est entre o et n, c'est que la partie considérée de XY vient par rapporta X, Yi du même côté que OZj. On a calculé (113)

les relations entre », a. r et les dérivées ~> —-» -, » que

' ' ' dt dt dt ^

s OR LA MÉGAITIQVE RATIONNELLE. 087

nous désignerons par (^\ ^', 6'*,

l /? = ^' siny sin -h ô' cosf , g = y sin cosy — ô' sin^ , ''^ j r = 7'4-f cosô.

Mais, pour trouver p, ^, r en fonction de ^, on me per-» mettra de résumer une metliode très-élégante exposée dans les leçons de Bour à TÉcole Polytechnique. Il considère une droite OR, appelée axe du couple résultant des quantités de mouvement, et dont les projections sur OXi, OYi, OZi sont

Transportons les forces extérieures en O, elles sont détruites, mais on obtient un couple résultant des forces extérieures, dont Taxe est une droite OG ; la projection de OG sur un axe est égale à la somme des moments des forces par rapport à cet axe. Le théorème sur la variation des moments des quantités de mouvement

/ d'z, d^xt\ . ^^

peut s'énoncer en disant que la vitesse du point R est représentée en grandeur et en direction par OG.

Cela posé, soient A,6, C les moments d*inertie autour de OX, OY, OZ*, la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à OX est A/?, . . . , c'est-à-dire que les coordonnées du point R sont, à Tépoque ^,

a: = Ap, jr = Bq, z = Cr.

A r instant t •+- dt^ les coordonnées relatives sont

k[p^dp), B{q-hdq), C{r-hdr);

mais, par une formule connue de Cinématique, les composantes sur OX, OY, OZ de la vitesse absolue de R sont les sommes des composantes de la vitesse d*eDtrainemeut et de la vitesse relative, c'est-à-dire, suivant OX,

— -t- ^5 — rr = A ^ -4^ grCr — rBy.

11 suffit d'égaler ces composantes aux projections de CXx sur les mêmes axes ou aux sommes L, M, N des moments des forces par rapport à ces axes, pour avoir les équations d'Euler

On remarquera que dp^ par exemple, se compose de deux

parties :

d'p= -^ qrdt, dTp = jài;

la première est celle qu'on aurait sans l'intervention des forces extérieures et eii vertu de Tinertie du solide 5 l'autre est due aux forces extérieures qui communiquent ainsi une

rotation do), dont les composantes sont - dt^ •— dtj — dt,