A— •C)r(4»'sinesinf -+-6'cosf) =M
Ajoutons les deux premières, après les avoir multipliées respectivement d'abord par coscp et — sin^, ensuite par sincp et cosf ; la première combinaison donne au second membre L cosf — M sinf , la seconde L sin^ •+- M cosf ; ces quantités sont les projections de OG sur OP et sur une droite OQ qui lui sei'ait perpendiculaire dans le plan XY, c'est-à-dire la somme des moments des forces par rapport à OP et OQ^ désignons -les par P et Q, et nos équations
kr
igo RECUEIL d'eyeucices
deviennent, après quelques réductions simples,
A r— — y »sinô cosOJ -h C(tp' -t- f cosO)f sinO= P, (3) I A ^sine^ -}- 2Ô'f cosO^j — Cô' (f'-»- f cosô) = Q, C~(f+-y cosô)=N.
Nous avons trois équations du second ordre, qui ont été données sous une forme équivalente par M. Resal^ cp n'y entre que par sa dérivée, et les moments P, Q s'obtiennent plus aisément que L et M.
188. Déterminer le moui^ement d'un anneau homogène en supposant que son centre coïncide a^^ec celui d'un autre anneau très^ grand par rapport au premier, et dont toutes les molécules attirent celles de Vanneau mobile suivant la loi newtonienne : il ninten^ient pas d'autre force ^ et le petit anneau est primitiv^ement animé d*un mouvement quelconque autour de son centre immobile. ^
On a vu (79) que l'action du grand anneau sur l'anneau mobile S se réduit rigoureusement à un couple dont l'axe est la ligne des nœuds, et que le moment de ce couple est approximativement
— if^ f* ■^- sin cosO ;
y étant le coefficient d'attraction, m et jx les masses du petit et du grand anneau, a et R leurs rayons, l'inclinaison du plan de S sur celui du grand anneau. Le centre O de S reste immobile^ nous le prendrons pour origine, et le plan du grand anneau sera notre plan Xi Yi , l'axe des .r j étant suivant la position primitive de la ligne des noeuds; nous
S1}R LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. Spl
conservons les variables <{/, et f . On a ensuite
an pose
et Ton peut substituer dans les équations (3); divisant par "ina*» il vient
— -f-4''*sin0cosO -f- 2^|»'ç' sinô H-XsînOcosO = o,
sinÔ-J- — iQ'if' = 0, -- (y' H- 4»' cosô) = o.
Je désigne par c, ?[, » les valeurs initiales de 6', ^' et ©', et par a celle de 6 ^ la troisième équation (4 ) donne tout de
suite
(5) <p' -4- ^' cos0 = u -+- Çcosa = A;
substituons la valeur de cf ^ dans les deux autres équations (4)
d9' ij;''sin9cos0-f- a/j^' sinô -f- XsinOcosO =: o,
siaO -7- -4- 2-y Ô' cosô.— 2AÔ' = ô.
dt ^ '
Si l'on multiplie la dernière par sinO, elle s'intègre et donne
(7) •^' sin'ô -+■ 2/icosO == Çsin'a-f- 2Acosa = K.
Tirons-en la valeur de y pour la rapporter dans (6),
dQ' cosÔ,„ ^. 2/2 .„ , A\ > . ^
---= -7-r-;: (R — 2Acosô)^ :—- (K— 2AcosO] — > smO cosO.
En mul tipliant par a6'dts=: 2 dd^ le second membre devient
392 USCVEIL D EXBKGICES
intégrable, et,' en remplaçant K par sa valeur, on a
fo\ A/, , (Çsm*a-+-2^co.sa — ^.hcouB]*
8 ô'»=e»— ^-^ ^ r— -— ÎLsin'OH- Ç^-i-> sin'a.
En général, 6 ne doît pas atteindre zéro nî tt, pour que le second membre reste positif, c'est-à-dire que le plan deFanneau mobile ne vient jamais coïncider avec celui de Panneau
fixe. Il n'y a exception que si le terme en t-j- disparaît, ce
qui exige ?[ = o et A = o, ou J^ = y; = o ; il faut que Tanneau n'ait reçu ni mouvement de précession ni de rotation autour de son axe de figure^ alors l'équation (8) devient
» = -7-, = «'-+- Xsm'a — sin'O) = £'-hX .
dt^ ^ ' 2
L'équation (7) montre que dans ce cas (f/'est nul; l'anneau oscille autour de sa ligne des nœuds comme un pendule de
longueur ~ = . . > mais dont l'angle d'écart serait à
chaque instant double de l'inclinaison du plan de S.
Cherchons les conditions pour que les valeurs entre lesquelles 9 doit rester compris soient égales entre elles et, par conséquent, à a : le second membre de l'équation (8) doit s'annuler ainsi que sa dérivée pour 6 = a; il faut d'abord que e soit nul \ puis, en se reportant à la valeur , M
2 ÇA — Pco8a-T-Xcosa= Ç'cosa -f- 2>ïÇ-f-Xrosa = o.
On doit donner à l'anneau un mouvement initial de préces>^ sion dont la vitesse ^ est l'une des racines de l'équation précédente*, ces racines sont de signe contraire à y?, et ne sont réelles que si r? ^ X cos*a; mais, si 19 est grand, l'une des racines est très-petite en valeur absolue, l'autre très-
SUR LA. MÉCANIQUE RATIOKNELLE. igi
grande. L'équation ( 7 ) donnant pour (p' une valeur constante, Taxe de figure décrit uniformément un cône droit autour de Taxe de Tanneau fixe.
La discussion complète dés équations (7) et (8) est longue, et je me bornerai à un cas particulier intéressant, celui où £ et ^ sont uuls, tandis que m a une grande valeur. On tire des équations (7) et (8) simplifiées
, 5i>î(cosa — cosô)
''' ~" sin'O ' '
,j X(€os*0 — cos'ajsin'O — /^ri^lùqsB — cosa)*^
9 diminue à partir de a jusqu'à une valeur qui en diOere très-peu ; on posera fl = a — x, et Ton développera par la formule de Taylor en ne gardant que les termes les plus influents; on trouve ainsi
sma
On intègre aisément la seconde, et, en résolvant par rapport à X, on a
^ sin 2a. .
* = ^ „ ■ (l — C0S2flf), Oïl*
d'où
>(*osot, , ' \tcosgL >cosa .
4^== ^(l — COS2))f], 4r=: 1 7 SlU^nt.
w^ . X cosa
t aisons . , == n, et nous aurons
= a — n sina -4- /zsina cos2>}f, >p = — nmnt + /zsin2)if;
B et ^^ qui fonfconnaitre la direction de Taxe de figure, ont une partie moyenne et une partie périodique. Sur une spbère de rayon (, le pôle moyen de Tanneau décrit un
394 KECCEIL d'exercices
petit cercle d'un mouvement uniforme pendant le temps
— ; mais le pôle vrai tourne autour de ce pôle moyen, de
façon que sa trajectoire relative est un petit cercle de rayon /zsina, et sa trajectoire absolue une épicycloïde spbéricpie
ordinaire, car, pour 6= a, rr est nul, ce qui indique un
rebroussemcnt; la période de ce mouvement de nutation
est -9 beaucoup plus petite que celle de la précession
moyenne. Ainsi, selon Texpression de Lagrange, le mouvement primitif du corps a transformé en mouvement de précession le mouvement oscillatoire que le couple tendait à lui imprimer.
Si Ton veut avoir la position de l'axe instantané à une époque quelconque, on recourra aux formules (i) dans lesquelles on peut faire <j> = o, car cet angle n'a apparu jusqu'ici que par sa diflérentielle ^ il vient, eu égard aux résultats précédents,
/?= 9' = — 2»qsinasin2Y}f,
q = 'Y sinô = — 2«» sina(i — cos2iî^),
L'axe instantané décrit, par rapport au système mobile formé de OP, OQ, OZ, un petit cône de révolution dont OZ est une génératrice, et dont le demî-angle au sommet est 2/iy]sina^ cet angle est très-petit, mais beaucoup plus grand que l'angle d'écart du pôle vrai et du pôle moyen.
189. Mouvement d'un solide de résolution pesant, animé d^une grande vitesse, autour de son axe défigure^ lorsqu'un point O de cet axe est fixe, et quun autre pointY^est sollicité par une force¥ perpendiculaire àl'axe.
Nous prenons pour origine le point fixe, pour axe des Zx
sua LA MÉCANIQUE hationkelle. 3gS
une verticale montante, et les autres axes comme précédemment. Soient a la distance OA du centre de gravité à Torigine, U et V les composantes de F parallèlement à OP et OQ, et OB = 6; P sera égal à mga sinfl — i V, Q à iU, et, d'après les formules (3), on aura
A(-- ^I^'^sinOcosô j
A[sinO^-f-2Ô'f cosôj — CÔ' ((p'H- f 0080) = èU,
d{if' ^-^|*' COSG) =0.
La dernière donne de suite a>' 4- ^' cosfl = A, h étant une constante. Quand cette quantité est très-grande, ou que la vitesse autour de Taxe de figure est considérable, Teffet de la forcé F est singulier. Supposons qu'elle se réduise à V, ou que U soît nul, les quantités
conservent des valeurs finies •, 6' reste très-petit, tandis que \^' prend une valeur finie, sensiblement proportionnelle à V et à rinvei'se de A*, la force qui tendrait à soulever Taxe du corps ne lui donne en réalité qu'un mouvement de précession. Au contraire, si Ton cherche à donner un mouvement de précession, en appliquant une force qui se réduise à U, les quantités C/îtj/' et CAô'-f- iU restent finies^ on ne réussit qu'à diminuer 6 ou à relever l'axe de figure. Si Ton demandait la force nécessaire pour obtenir un mouvement de précession sans nutation, on ferait 0'= o dans (E), et l'on en déduirait
b\ = sinB{mga -f- Af ^cosô — CAf ), èU = AsinÔ ■-^;
396 RECUEIL D^EXERGICES
y aurait uae valeur considérable, tandis que U serait fini et i^dëpeudant de la vitesse de rotation qui entre dans h.
Quand on suppose F =: o, et qu'on tient compte de la valeur de jp' + ^'.cosd^ les deux premières équations du mouvement deviennent
ki— ^'^ sinô cosô I -4- Ch^' sinO = mga sinO,
I A ( sine -J- -4- 2ô'4»'cosô) — C/iO' = o.
La seconde, multipliée par sind, est intégrable, et donne une intégrale de la forme
(H') A4»'sin'0 4-CAcose;= AÇsin'a-hC^cosa.
Multiplions-la, au contraire, par %sm6d^^ et ajoutons-lui la première multipliée par a ^6, on a l'intégrale des forces vives
(H'^) A(9'*-^sin^fl^J>'')-f-2/wg'«cos6=A(«'^-Ç*sin*a)-4-2/wg'«cos«.
^ Ces deux équations donneront le mouvement dans le cas le plus général \ on peut en déduire les conditions pour que 6 conserve une valeur a \ maïs celles-ci résultent plus simplement des équations (H); la seconde donne d^'= o, 4''=?^» et la première
A cosaS' — C^Ç -4- mga z=z o;
il y a deux vitesses de précessîon correspondantes, l'une grande, l'autre petite.
Supposons le corps animé seulement à l'origine d'un mouvement de rotation autour de son axe 5 on fera e = î^= o dans (H') et (H''), et, si l'on élimine dt entre elles, on trouve
<Ap' C'^*(cosa — cosO)
dh^'~ sin*ô[2/w^Aasiii='e> — C'^'(cosa — cosO)j'
SUR LA MÉCAUrrQfTE RATlONIfELLE. 897
La fonction entre crochets, posîtîve pour 6 = 0, négative pour 9 = ir, s'annule pour une seule valeur, j3, de 6 comprise entre zéro et tt*, (3 est ^a selon que a est positif ou négatif. Sur une sphère dont le centre est en O, Taxe de figure décrit une courbe comprise entre deux petits cercles, dont les distances sphériques au point le plus haut de la sphère sont les arcs (X et |3 ^ la courbe est tangente au second cercle, tandis qu'elle aborde le premier par des points de rebroussement où la tangente est orthogonale au cercle. Quand h a une grande valeur, |3 est très-voisin de or, en
sorte que, si a = -1 l'axe de figure décrit à peu près un
plan horizontal ^ mais, à mesure que les résistances passives diminuent la vitesse de rotation, Taxe dévie de plus en plus de ce plan.
1 90. Sur quelques propriétés du moui^ement d'un solide ijui tourne autour d'un point fixe sans être sollicité par 4xucune force extérieure; équation de Vherpoloïde.
Je prends les axés principaux d'inertie pour axes des x. des j^ et des z\ soient p^ q^ r les Composantes de la vitesse angulaire co, I le point d'intersection de l'ellipsoïde central (E) avec l'axe de cette rotation, p la distance QI. L'axe OG du couple des quantités de mouvement est invariable dans l'espace, mais ses projections A/>, 6^, Cr sur nos axes mobiles changent avec le temps, tout en satisfaisant à la relation
(i) AV'4-B»/y»-l- CV^=G^
le théorème de la conservation des forces vives donne en outre
Poinsot a indiqué une représentation très-simple du
mouveoieut; le plan tangent à (E) au point I est parallèle au plan invariable, c'est-à-dire perpendiculaire à OG, et
rencontre cet axe à une distance constante ~- de l'ori-
gine, 0) étant égal à p ^H. Le solide se meut de manière que rellipsoïde central reste toujours tangent à un plan fixe, le point de contact a une vitesse infiniment petite, mais il est le centre d'un pivotement,
Poinsot a déduit des équations (i) et (2) d'autres conséquences secondaires, faciles à établir^ ainsi la somme des carrés des distances des sommets de (E) à Taxe du couple OG est constante. En effet, cette somme est
4 sin'GOX -f- 4 sin'GOY -4- ^ sin»GOZ ABC
On aurait encore une somme constante en multipliant le carré de chaque distance par le moment d'inertie correspondant.
Le plan tangent à (E) au point I, étant perpendiculaire
à OG et à une distance ^ de l'origine, a pour équation
Apx -h Bqx -4- Crz = y'H;
la somme des inverses des carrés des longueurs qu'il in-
tercepte sur les axes à partir de l'origine est -— ^ si l'on
multiplie ces carrés respectivement par A, B, G, la somme des inverses devient égale à i .
Considérons Tellipsoïde réciproque dont les axes sont égaux aux rayons de gyration principaux*, ce sera la figure polaire réciproque de E par rapport à une sphère de rayon
SUR LÀ MÉGÀJNIQUE HATIOIfNELLE. 899
jjm m étant la masse du solide-, le point G' où il est coupé
par Taxe du couple des quantités de mouvement est le pôle du plan tangent en I à E^ OG' est égale à la longueur
constante G i/ — • Que Ton projette les axes a^b^c de
Tellipsoïde réciproque sur le plan invariable, -la somme des aires décrites par les projections de ces droites croîtra proportionnellement au temps. En elTet, en vertu des rotations pdt^ qdt^ rdt^ a décrit dans les plans XOZ et
XOY les aires -a'^rfz, -à*rdt] la somme de leurs pro-
jections sur le plan invariable est
I , f^q Cr \ dt . , ^ ,
-a.^.^^5 4-^rj=^[A(Ai>'+Bg=-t-C/-')-AV'].
et la somme des trois projections donne dt
nGffi
Poînsot a donné une image très-nette du mouvement en disant que le cône S, lieu des droites 01 prises dans le corps, roule sans glisser sur le cône Si, lieu des droites de l'espace absolu qui coïncident successivement avec 01* La directrice de S est une courbe U, lieji des points I de l'ellipsoïde dont le plan tangent est à une distance donnée du centre 5 soit K l'inverse du carré de cette distance, les équations delà poloïde U seront
(3) A.v^-hBy-^Cz'=i, A»-i-»4-BV'-hC»z2=:K.
L'équation de S s'obtient en combinant les précédentes
Soit A > B ]> C^ lorsque K = A ou K = G, le cône se
400 EECUEIL D^EXEUCIGES
réduit à une droite et la poloïde à un point ^ les axes majeur et mineur de l'ellipsoïde central sont axes permanents de rotation*, si K = B, S devient un système de deux plans réels et la poloïde se compose de deux ellipses passant par Taxe moyen ^ cet axe peut être un axe permanent de rota tion, mais, avec les mêmes valeurs de H et G, il peut arriver que le point I se déplace tout le long d'une des ellipses. Ces courbes partagent la surface de TelUpsoïde en quatre fuseaux tels que, pour une valeur de K quelconque, la poloïde se compose de deux ovales renfermés à Tintérieur de deux de ces fuseaux opposés par le sommet, en sorte que le point I reste dans celui de ces espaces où il s'est trouvé à l'origine^ la poloïde est symétrique par rapport aux trois plans principaux, et se projette sur eux suivant des coniques. K est toujours compris entre A et C; selon qu'il sera ^6, la poloïde sera dans l'un ou l'autre couple de fuseaux opposés.
Dans l'espace absolu, le lieu de I est une courbe plane Ui, appelée herpoloïde, directrice du cône Sj. Soient P le plan sur lequel roule l'ellipsoïde central, T le point où il rencontre OG, p la longueur de Ol, ds l'arc înGniment petit dont I se déplace pendant le temps dt^ soit sur U, soit sur Ui ', p et ds sont les mêmes pour les deux courbes ; la relation qui les lie dans la poloïde sera une équation dilTérentielle de l'herpoloïde. Ecrivons
cette équation, jointe aux équations (3), détermine x^y^z en fonction de p :
, BCp»-4-K — B—C ^^ CAp'-f-K — C— A
Prenant la racine, difiërentiant et élevant au carré, on
8Vn LA KéCANIQUE KATIOXTNELLE. 4^1
trouve
dx^ =
(A — B) ( A — Cj {BCp»-H K — B — C)
En ajoutant les trois quantités analogues, on aurait ds* en fonction de peldp\ or, si dans P on prend T pour pôle, si Ton fait TI == u, et qu'on appelle 9 l'angle de TI avec une droite fixe, on aura
(4) iis^r=du-~hu^dB\ p'=ii'-i--., fd^=:udu;
l'équation qui donne ds* deviendra, en éliminant ds et /9, une équation différentielle entre u et d, conduisant à une intégrale elliptique. Sans effectuer la quadrature, on voit que, Therpoloïde étant le lieu des points où P est touché par une orbe de la poloïde qui roule sur lui, cette orbe étant formée de quatre parties superposables, et p devenant tour à tour maximum et minimum aux sommets qui séparent ces parties, u est en même temps minimum ou maximum, et rherpoloïde se co/&pose d'arcs égaux, compris entre deux cercles dont le centre est en T, et que la courbe vient toucher alternativement.
Pour K = A ou K = C, Therpoloïde se réduit à un point; mais, pour K =: 6, c'est une courbe dont l'équation peut être explicitée. Les valeurs de dx*^... se réduisent aux suivantes :
(A-B)(A-C)(Bp-'-i)' *"""■ (B - A) (B - C) (ACp' H- B — A — C) *
^^-(C-A)(C-B)(Bp^-i)'
, (ABCp'-h B»— AC — AB — BC)^^dp\ (Bp'— i)(ACp'4-B — A— C) Di S.-G. — iUc. 26
402 REGTJKIL D EXERCICES
Faisons les substitutions (4), en supposant K=B, on obtiendra, après quelques réductions, Téquation diiSerentielle de l'herpoloïde
dB=:
«V^(A — B)(B — C) — ABCi/»
Posons (A — B) (B — C) == ABCa* -, on voit que u ne peut dépasser a, mais qu'il peut aller jusqu'à zéro^ supposons 9= o pour tt = a, Tintégrale est
«v/BÔ = Lr^-f-i/~i\ ^=^V54-^--Vô.
La courbe est une spirale qui tourne indéfiniment autour du point T : quand le pôle I s'approche de ce point, la vitesse de rotation est sensiblement constante ; mais, comme le cône S, réduit ici à un plan, doit rouler sur Si, lequel se replie suivant une infinité de spires, I n'arrivera en T qu'après un temps infini.
Monreinent quelconque d*an solide.
191 . On cherche d'abord le mouvement du centre de gravité, puis le mouvement relatif à des axes de direction constante dont l'origine coïncide avec ce centre ; ce mouvement s'obtiendra en traitant le centre comme un point fixe, et en ne tenant compte que des forces extérieures, parce que les forces apparentes disparaissent. Veut-on, par exemple, connaître le mouvement d'un solide pesant, abandonné d^ns l'espace, et dont les molécules soient attirées vers un centre fixe proportionnellement à la distance (Licence, 1867), les attractions et la pesanteur ont une résultante unique appliquée au centre de gravité ; rien de plus facile que.de reconnaître que ce centre décrit alors une ellipse -, quant au solide, il tourne autour de son centre
SUR LA MÉCABIQUE RÀTIOKIVELLE. J^oi
de gravité comme autour d'uu poÎDt fixe et sans forces extérieures*, ce mouvement relatif *s'efFectue donc suivant les règles de Poinsot.
192. Mouvement d!un cylindre pesant homogène, abandonné sans vitesse initiale sur un plan incliné dépoli, de manière que ses génératrices restent toujours horizontaies; on tient compte de la résistance au roulement.
On peut réduire le cylindre à sa section médiane par rapport à laquelle tout est symétrique ; les réactions du plan pourront être remplacées par une force dont la composante normale est N, et la composante tangentielle H, dirigée dans le sens montant. La résistance au roulement se traduit par ce fait que la réaction N s'exerce à une petite distance 9 en avant du point de contact géométrique, et qu'elle a, par rapport à l'axe du cylindre, un moment — Nî, en vertu duquel elle tend à diminuer la vitesse de rotation. Soient i l'angle du plan avec l'horizon, m la masse du cylindre, a son rayon, y= tangcp le coefficient de frottement, X la longueur parcourue parallèlement au plan par le centre de gravité, l'angle dont le cylindre a tourné autour de son axe, cette rotation constituant le mouvement relatif^ on a l'équation du mouvement du centre de gravité et celle du mouvement autour de l'axe :
iPa; I .^0
-=m£'sin/ — H, - ma^—;-=ïla — N^.
dt^ ° ' 1 dt
D'ailleurs, N est égal à mgcosi^ puisque le centre de gravité ne se déplace pas dans le sens de la normale au plan. Pour qu'il y ait roulement, il faut à la fois
(i) m^sin/^H, aH>N^> ^/wg'cos/.
Comme la limite extrême de H estfmgcosi^ pour que la
4o4 RECUEIL d'exercices
seconde inégalité ait lieu, il fatuif^ -9 ce qui est le cas
ordinaire dans la nature. Mais, quand f<^ -» il ne peut
naître de mouvement de rotation; si alors taûxgi<Zj\ le centre de gravité restera lui-même en repos; si tangi }>y, on a un glissement simple
-— =g'(8in/ — /cosi)y a::= - g[sini — /cos/)r', $ = 0.
Soit maintenant y > -> pour que les deux inégalités (i) puissent être satisfaites, il faut tangi^-; sinon il y a
Cm
encore* arrêt; au contraire, si cette inégalité est vérifiée,
il peut y avoir roulement simple ou roulement compliqué
de glissement. Pour qu'il y ait roulement simple, il faut
qu'on ait
dx M iPx iP9
dt dr dn dt*'
on peut alors déduire des équations du mouvement
— = - I g^sm/ gcosi J9 H =^ m^ I sm/ -h 2-cosi ]•
Mais H doit être <C.fmg cosi, il faut donc
tang/<3/— 2-;
si cela a lieu, le centre du cylindre prend un mouvement uniformément accéléré, l'accélération étant réduite à peu près dans le rapport de ^ à 3, parce qu'une partie de la pesanteur sert à accélérer le mouvement de rotation.
Quand tangi sera supérieur à Zf — a -» H sera égal à sa
Sun LA MÉCANIQUE EÂTIONlfELLE. ^o5
limite fmg cosz\ et Ion aura roulement avec glissement^
di
il est remarquable que le mouvement du centre de gravité soit indépendant de d dès qu'il y a glissement.
493. Déterminer le mouvement d'une sphère homogène, posée sur un plan horizontal, assez rugueux pour empêcher tout glissement; les molécules de la sphère sont attirées vers un point O du plan avec une force proportionnelle à la distance; on néglige la résistance au roule^ ment. (Licence, 1874.)
Je prends le point O pour origine, le plan donné pour plan des xy. une verticale pour axe des z] soient x, j-, a les coordonnées du centre S de la sphère, m sa masse ^ les attractions de O sur les divers points de la sphère ont une résultante appliquée en S, et dont les projections sur les axes sont — fjt'/wo:, — f^'^J^? — [i^ma. Au point de contact C de la sphère et du plan, la sphère éprouve une réaction dont les composantes sont X, Y^Z^ on a, pour le mouvement du centre de gravité,
fil • < cPr
O = mg -h /wfA'a — Z.
Pour étudier le mouvement autour de S, on pourra mener par ce point des axes Sxi, Sy^^Sz^ parallèles aux axes fixes, sans être obligé de prendre des axes liés au corps mobile ^ cela tient à ce que toute droite passant au centre d'une sphère est axe principal, et le moment d*inertîe correspondant invariable. Soient /?, q^r les composantes de la
4o(> RECUEIL D^EXERCICES^
rotation autour de Sxi ... ; X, Y sont les seules forces dont le moment ne soit pas nul, et le théorème sur les moments des quantités de mouvement donne trois nouvelles équations :
^ ' 5 de 5 de ^ de
II faut encore deux équations pour pouvoir déterminer nos inconnues x^j^ X, Y, Z, ;?, ^, r^ on les obtient en écrivant que la vitesse du point C est nulle*, ses projections sur OX et OY sont les sommes des projections de la vitesse d'entraînement et de la vitesse relative par rapport au système Sxxj^ z^-^
io\ ^ ^y
Ces équations permettent de remplacer les deux premières du système (2) par les suivantes :
^^' 5 de^ ' 5 de^
éliminant X et Y entre ces équations et les deux premières du groupe ( i )
Ce système connu montre que le point S, ainsi que le point C, décrit une ellipse dont le centre est sur OZ^ compcons le temps à partir du passage à Tun des sommets, et supposons qu'alors j^ soit nul, x = c, ^^ = A, les intégrales du mouvement seront
x=:cco?,u.ei/ -^ y = -i/ i smaei/ "'
SDH LA XÉCANIQOE RATIOMNELLE. 4^7
Les équations (3) donnent
quant à r c'est une constante. Il résulte de ces formules que si l'on mène par l'origine une droite qui, k chaque instant, représente en grandeur et en direction l'axe de la rotation instantanée, le lieu des extrémités de cette droite sera une ellipse horizontale.
Les équations (4) et (5) nous donnent les composantes horizontales de la réaction du plan
La résultante de ces deux forces est dirigée suivant OC et
égale à -|i*/nOC^ pour que le mouvement ait lieu sans
glissement, comme on l'a supposé, il faut qu'elle soit inférieure à Z multiplié par le coeflScient de frottement
%«OC</(^-l-^t»«).
Si l'inégalité n'est pas toujours vérifiée, il y a glissemeipit, et le problème est plus compliqué.
194. Mouv^ement d'une sphère homogène, posée sur un plan horizontal dépoli, qui tourne uniformément autour d 'une verticale . ( Walton . )
Prenons pour axe des z l'axe de rotation, et pour axes des X et des j* deux droites rectangulaires, fixes dans l'espace, et passant par le point où OZ perce le plan. Le problème est analogue au précédent, si ce n'est que ji est nul, et que la vitesse de C, au lieu d'être nulle, est égale à celle du point du plan qui coïncide avec lui. Le système (3) sera
4o8 HEGD£IL D*eX£1ICICES
remplacé par le suivant :
dx dy
Le système (5), donné par rélimination de p, ^, X,Y, devient
d^x dr d^Y dr.
' dt^ di ' dO dt
Intégrant,
dx ^ dy f
Posons j~jo—J-^=Ji, :r — Xo4-^^*=j^i, ce qui
revient à transporter Torigine en un point connu A, on aura
