aw^i = Oi 7 -^^ — 2«.r, = o
L'intégration de ces équations ou leur interprétation géométrique prouve que C tourne autour du point fixe A avec
une vitesse angulaire - oi; la trajectoire apparente de C sur
le plan sera épicycloïdale ^ X et Y ont une résultante constamment dirigée vers A et de grandeur invariable.
Forces instantanées.
193. On nomme ybrce^ instantanées ou percussions des forces énergiques qui agissent pendant un temps très-court. Leur effet sur un système matériel se calcule comme celui des forces ordinaires, sauf quelques simplifications; on peut négliger, pendant la durée de la percussion, le déplacement des points du système et T action des autres forces dont l'intensité est finie. Considérons une grande force F agissant, pendant un temps très*court 0, sur un solide^ le centre de
gravité O prendra une vitesse parallèle à F,
"^iX
Ydt.
Cette intégrale est la mesure de la percussion P. Pour connaître le mouvement autour du centre de gravité, rappelons-nous ["voir n^ 187) qu'un couple G, agissant pendant un temps dt^ donne une rotation autour du diamètre OI de l'ellipsoïde central conjugué du plan du couple. Cette rotation est égale à l'impulsion du couple multipliée par le cosinus de l'angle de soii axe avec 01 et divisée par le moment d'inertie autour de 01.
Cela posé, soit RS (fig* 24) 1* force instantanée; on
peut choisir son point d'application S de manière que l'angle OSR soit droit; le plan du couple G sera ORS, sa grandeur FxOS, et ces éléments seront regardés comme constants pendant le choc. Si donc le diamètre OI conjugué de ORS fait l'angle d avec la normale à ce plan et si MK* est le moment d'inertie relatif à 01, le couple communique au solide une rotation autour de 01
** MK» X
^ PXOScosO FxOScose^/f = ,^^
Cette rotation se compose avec la translation v pour don-
ner un mouvement hélicoïdal. Pour que le mouvement résultant soit une simple rotation, il faut que RS soit perpendiculaire à 01 et, par suite, au plan lOS. Menons ST perpendiculaire à 01, on aura
- ST = OScose = a,
et, si Ton prend HT = — » la rotation résultante se fera
autour de Taxe HK parallèle à 01. Je dis que cette droite est axe principal d'inertie par rapport à H. En effet, menons en O trois axes rectangulaires, OX parallèle à ST, OY à SR, et 01 ^ Téquation de rellîpsoïde central en O sera de la forme
Comme le plan conjugué de OZ ou 01 passe par OY, il faut que D = Timyz soit nul \ quant à C, il est égal à MK'. Les équations de OS sont
jr = o^ Cz — Ea:r=0;
Ea
les coordonnées de S sont donc a, o, — •, celles de H,
= — — - > o, -— - • Menons au point H trois axes OX',
a Ma C ^
OY', OZ' parallèles aux premiers ; nous aurons, en nous
rappelant les propriétés du centre de gravité,
^myz' ==^mr L-^-^\ =^mxz — -^ ^mjr = o,
Si Taxe HK était fixe, il n'éprouverait pas de percussion, ce qu'on peut vérifier par l'expression générale de la charge supportée par un axe fixe.
SUR LA MÉCANIQUE HATlONIiELLE. 4<I
Considérons un cube complètement libre et cherchons où il faudrait lui appliquer une percussion pour le faire tourner autour d'une de ses arêtes AB. L'ellipsoïde central, relatif au centre de gravité O, se réduit à une sphère 5 le plan conjugué de la direction AB lui est perpendiculaire et passe en son milieu C\ na étant Tune des arêtes, le moment
d'inertie autour de OI, parallèle à AB, est xMa*^ il faut
que la percussion soit perpendiculaire au plan ABO, et
qu'elle rencontre CO en un point S tel, que 0S =-50 ^;
la vitesse de rotation sera
Ma^
196. Une barre homogène OA, de masse m, de lon^ gueur 2 a, peut tourner sur un plan horizontal autour de son extrémité O; à l'autre extrémité est articulée une barre égale AB, qui se meut aussi sans frottement sur le plan horizontal. On suppose les deux barres primitiue^ ment en ligne droite, et l'on applique une percussion P jyerpendiculaire en un point S de AB5 déterminer le mou-i^ement initial des deux barres et les réactions en O et A qui se produisent au moment du choc.
Soient OX la droite qui coïncide d'abord avec OAB, s la distance AS, a, (3 les vitesses angulaires de OA et de AB après le choc \ le moment de la percussion par rapport à O est égal à la somme des moments des quantités de mouvement des deux barres. Pour calculer la partie de cette somme relative à AB, je remarque que son centre de gravité a pour vitesse aaa -f- a(3; le moment de la quantité de mouvement, en y supposant la masse concentrée, est 3/na(2aa -4- a(3)*, il faut y ajouter la somme correspondant au mouvement relatif autour de ce centre, ^/na*(3.
4ia HECVEiL d'exercices
Ooa
(1) ^mfl»a-4-3ma'(2aH-p) -H x/w«*P = P(2a •+• f).
La somme des moments des quantités de mouvement de A6 par rapport à A est égale au moment de la percussion P, car la réaction de OA en A a un moment nul ^
(2) mfl«(2aH-p)-h xm«»p = P*.
Les équations (i) et (2) donnent les vitesses angulaires initiales
Rien de plus facile que de discuter ces formules. Par exemple, pour que a et |3 soient égaux ou que les barres
restent d'abord en ligne droite, il faut 5 £= — a. La percussion Q, que AB reçoit en A par suite de sa liaison avec OA, s'obtient en exprimant la vitesse du centre de gravité deAB
/ «X P-hQ ^ Zs^^a^ a
(2a -4- B a = -^, 0= X p=:— ^maoL.
^ ' ' m fja 3
La percussion R, que reçoit O, se tire de la vitesse du centre de gravité de OA
Pour avoir le mouvement ultérieur du système, on exprime que la force vive et la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à O restent constantes*, 6 étant l'angle AOX, ^j/ Taugie de AB avec OA prolongé, on
trouve, après de simples transformations,
</ii>»__ 7(p — «)»— ia(4a»-4-3ap-f- p»)(i — cost^) de* 16 — g cos^il»
d9 iia-4-5p — (5l4-3cos^p)4»'^ di "^ 2(5 -H 3cos>|^} '
^ s'annule pour'des valeurs ^^^ — ipi, comprises entre
et -; vp doit osciller entre ces valeurs^ quant à 0, il peut ou
osciller ou croître indéfiniment ; on discute aisément d9 en remarquant que (2 + 3cos\{/)(p' est maximum ^n valeur absolue pour v|/ = o.
197. Une barre très-mince se meut sur un plan horizontal parfaitement poli; le centre instantané de rotation coïncide av^ec l'un de ses points. A, lorsqu'elle rencontre un obstacle fixe M; déterminer la grandeur de la per-cussion et le mouvfement ultérieur de la barre.
(Agrégation, 1872.)
Soient %f^ if' les vitesses du centre de gravité O avant et après le choc; cd, tù' les vitesses de rotation correspondantes; m¥J le moment d'inertie autour de O; a, x les longueurs OA, OM. On suppose A à gauche de O et M à droite quand x est positif; (^ est perpendiculaire à la barre et égal à ao). Après le choc, en supposant la barre dépourvue d'élasticité, M reste momentanément en repos et est centre instantané de rotation; if' est perpendiculaire sur AO et if':= — tù'x. Le moment de la quantité de mouvement par rapport à M est constant ;
— nwx -4- mK'w = — mv^a: -h mK'u',
4l4 KECUEIL D^EXEB.CICES
d'où
Soît B le poînl conjugué de A, à droite de O, et tel que OA X OB = K* \ quand M est à droite de B, w' est de sens contraire à w, i^' de même signe que \f\ quand M est entre O et B, 0)' est de même signe que o), {f' de signe contraire à |/^ il y a une sorte de réflexion. En discutant la valeur de sf\ on trouve qu'elle est maximum ou minimum, égale
à (a ifc ^/a*H-K*) — pour x = — azp ^a*4-K'. La grandeur de la percussion reçue par l'obstacle est mesurée par la variation de la quantité de mouvement de la barre projetée sur une perpendiculaire
^ , ,, YJmvix -^a]
Elle atteint un maximum - mw (a -f- ^a* 4- K*) pour
Si l'on avait supposé la barre parfaitement élastique, il aurait fallu adjoindre à l'équation (i) la condition que la force vive reste constante :
et l'on aurait pu calculer \f' et eo', qui, dans les deux cas, ne varient plus.
198. Etant donné un système en équilibre grâce à cerlaines liaisons, on suppose que quelques'^anes de ces lied-sons viennent à être détruites, et l'on propose de calculer les réactions qui représentent les liaisons restantes aussitôt après la rupture de l'équilibre.
Ces questions se rattachent aux forces instantanées.
M. W. Besant en a traité plusieurs dans le tome IV du Journal de Cambiidge; il prend les équations du mouvement du système aussitôt après la ri^pture des liaisons, en y négligeant les termes de Tordre du carré des vitesses^ ainsi, pour le mouvement dans im plan, on réduit les comr posantes de Taccélération suivant le rayon vecteur et sa
normale à -7-— et à r -r-r : on traite comme nulle Taccéléra-
tion centripète, etc.
Considérons une planche elliptique dont le plan est vertical et dont les foyers, situés à la même hauteur, sont soutenus par deux chevilles^ on en retire une, et l'on demande la pression P supportée par l'autre immédiatement après. Soit o) la vitesse angulaire du disque après un temps très -court", l'accélération dU centre peut être regardée comme simplement tangentielle et dirigée vers le bas
dv dtù
m -;- = mae -7- = ms — P.
dt dt ^
Prenons le moment de la quantité de motivement autour du point fixe
/ î î . xr«, ^** 2-^3tf* dvk
^ ^ ' dt ^ dt^
éliminons ^-9 et nous aurons dt
Elle est inférieure ou supérieure à la charge d'équilibre - mg^ selon que ^* < ^ •
Soit encore un fil dont les extrémités  et D sont fixes, et qui porte deux masses m^m' attachées en B et C, de manière que BG soit horizontal^ on coupe la partie CD, et
4l6 mECUEIL D^EXERCICES
l'on demande, les tensions initiales T, T' des cordons AB et BC. Le point B décrit un arc de cercle normal à AB \ on peut regarder d'abord son accélération suivant AB comme nulle, et l'accélération totale y comme perpendiculaire à ce rayon. Si donc est l'angle de AB avec la verticale, on a
T — T' sin0 — /n^ cosô = o, my = mg sia0 — T cosO.
L'accélération relative de C par rapport à B est tout entière perpendiculaire à CB^ son accélération totale, qui est la résultante- de la précédente et de l'accélération de B, aura ycos0 pour projection sur CB^ T'=m'ycos6. On tire de cette relation et des deux premières
m(/ii H- m')/f cosO ^ /wm'^sinOcosO^
m-h m' cos'ô m-f- m' cos'O '
la vitesse initiale de C sera dirigée suivant la résultante de T' et de m'g.
Moment d'inertie d'un secteur sphénque à une base autour d'une droite passant au centre de la sphère et perpendiculaire à l'axe du solide, p étant le demi-angle au centre, la densité étant i ,
1= -^ R»(4 — 3 cosp — cos'P). (Waltok.)
Un pendule a la forme d'une lentille biconvexe, soutenue par une tige droite dont la masse est négligeable ; déterminer le point de la tige où il faudrait placer le centre d'une sphère donnée pour accélérer le plus possible les oscillations du pendule composé.
Une tige rigide, très-mince et homogène, est suspendue en l'un de ses points autour duquel elle peut osciller librement, comme un pendule conique; appliquer les formules du mouvement d'un solide autour d'un point fixe à Tétude de son mouvement.
Une chaîne mince et homogène est partiellement enroulée sur
SUR LA MÉGANIQUE RATIONNELLE. ^ly
la gorge d'une poulie mobile autour d'un axe horizontal dont le rayon est donné; le bout libre de la ch^une est vertical et se termine par un poids; déterminer le mouvement du système quand on permet à la poulie de tourner et à la chaîne de se dérouler; on néglige la roideur de la chaîne, mais on tient compte de son poids et du frottement de l'axe de la poulie 'sur les tourillons.
Mouvement d'une sphère pesante abandonnée sans vitesse initiale à l'intérieur d'une sphère creuse dans laquelle elle ne peut que rouler sans glisser.
Un cylindre est posé sur un plan horizontal dépoli ; quel sera le mouvement du cylindre si Ton vient à faire tourner le plan avec une vitesse uniforme autour de l'horizontale qui coïncidait primitivement avec l'arête de contact du cylindre ? Époque où le corps se détache du plan. On décomposera l'action du plan sur le cylindre en deux parties, l'une normale au plan, l'autre suivant ce plan, et Ton écrira que le point .du cylindre qui est sur le plan a une vitesse relative nulle. Le cylindre se détache quand la réaction normale du plan est nulle, à une époque donnée par l'équation
9COS<a?— 2(e»' -H e-*»') == 5 — • . (W. Walton.)
Mouvement général d'une sphère sur un plan horizontal dépoli, en négligeant la résistance au roulement. ( Gobiolis. ]
D« S.-G. — Rec, 21
4l8 RECUEIL d'exercices
