ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE LA MÉCANIQUE
Principe des yitesses virtaelles.
199. Nous allons étudier très-rapidement certaines équations générales auxquelles les géomètres ont ramené la résolution de tous les problèmes de Mécanique; c'est une méthode moins directe que l'emploi des considérations mécaniques proprement dites, mais elle est remarquable par sa généralité et sa puissance. On peut dire que toute la Statique est comprise dans le principe des vitesses virtuelles, énoncé par Bemoulli : dans un système en équilibre, la somme des travaux des forces qui y sont appliquées est nulle pour tout déplacement virtuel des points du système, compatible avec les liaisons. Toutefois, quand quelques points du système sont simplement posés sur des surfaces, et qu'on leur donne un déplacement virtuel du côté où ils sont libres, la somme des travaux virtuels devient négative. On emploie indifféremment dans cet énoncé les mots de travail virtuel, moment virtuel, vitesse virtuelle.
Soient dx^ dy^ âz les projections rectangulaires du déplacement virtuel donné à l'un des points du système 5 X, Y, Z les composantes de la force extérieure qui le sollicite ; on a, eu faisant la somme relative à tous les points, dont le nombre est /i,
l{XSx -h YSj -f- ZSz) = o;
dx^ dy^ dz sont tels que les liaisons soient respectées.
Quand celles-ci s'expriment par des équations
(i) F(^,j,2,a?„. ..) =o, F2=o,..., Fi=o,
on a, i prenant toutes les valeurs depuis i jusqu'à /r,
^ ' dx dy dz dx^
On peut tirer de là h variations en fonction des autres, et, les substituant dans (i), on égale à zéro les coefficients de celles qui restent, en nombre Zn — /: . Il revient au même d'ajouter à (i) les équations (2) multipliées respectivement par des indéterminées ij, Xj,. . ., et d'annuler les coefficients de toutes les variations ^ on a le même résultat que si un point quelconque x, y^ z était libre, mais qu'on lui ait appliqué Ji forces, les composantes de Tune d'elles
dYi . dYi . dYi étant X, — ,X,-^,i,.
Quand la position du système est déterminée par des variables yj, y,,. . ., y^, on peut transformer (i) en fonction de ces variables, et annuler le coefficient de chaque variation indépendante. Enfin en donnant des déplacements virtuels convenablement choisis, on peut obtenir des équations particulières d'équilibre contenues dans l'équation (i), et faciles à former.
200. Position d'équilibre d'un point M placé sur un plan incliné P, et attiré vers un point O proportionnellement à la distance; pression sur le plan.
Prenons O pour origine, avec un axe des z vertical^ soit l'équation du plan P
X cos a -hzsiaa — /? = o;
l'équation des travaux virtuels est évidemment
— ^^xèx — it-^x^X — (p'z -i- tng) Sz z==. o.
J'y ajoute X [cosaSx -h sinadz)^ et j'annule le coefficient
420 KEGUEIL D*EXERCICCS
de chaque â ^ /
— /x*;r -+■ \ cosa = o, it-^jr = o^ — it^z — mg -h ). sina = o.
Ces équations avec celles de P donnent les coordonnées de
la position d'équilibre, et la valeur 1 de la pression, qui
est normale au plan,
Xcosa Xsina — mg \ == u^p + mg ^may xz= --, X=o, z= ; ^.
201 . Une tige AB de poids P repose sur une chev^ille horizontale C et s'appuie par son extrémité inférieure A contre un mur vertical; il n'y a pas de frottements, Déterminer la position d'équilibre et les réactions.
On connaît la distance OC = c de la cheville au mur, et la distance AM = a du centre de gravité de la barre à son extrémité appuyée*, il s'agit de trouver l'angle Q de AB avec la verticale. Le plan vertical qui contient la tige est perpendiculaire au mur : faisons remonter A le long de ce mur*, la seule force qui donne un travail virtuel est la pesanteur qui agit en M^ la hauteur de M au-dessus de OC, a cosÔ — c cot 0, ne doit pas changer
sin^ô
asinô = o, sinO=:i/-.
Pour avoir la réaction R de la cheville, supprimons cet appui, introduisons la force R et faisons tourner AB de J9 autour de A \
Rc «P . ^ fa V
aPsine^ô —-^0 = 0, R=: — sin*ô = Pi/-=r -r---
smO c y c sm6
La réaction N du mur s'obtient à l'aide d'une translation virtuelle horizontale;
N*x — R cosô^or = o, N = R cosô = P colô.
