Trois points A, B, C, assujettis à rester sur un
sua LÀ MÉCANIQUE KATIONNELLE. 4^^
cercle, se repoussent avec une intensité proportionnelle à la distance; position d'équilibre.
Soient a, (3, y les trois masses, R le rayon; on a
BC = 2RsinA;
pour une variation JA, le travail virtuel des forces exercées par B et C Pune sur l'autre sera
2/P7RsinA X ^2R sinA;
Péquation du travail est, en di^sant par a/R'a|3y,
/ N sinsA-^ sinaB ^^ sinaC ^^ I ^AH •«— ^B-t ^C = o;
mais A -+- B 4- C = TT, aC = JA 4- JB; donc
sin 2 A sin 2 B sin i C
2 A+ 2B4- 2 C = 271 •, construisons un triangle dont les côtés soient a, [3, 7, ses angles seront les suppléments de A, B, C; mais cette solution n'est possible que si « <C 1^ ■+■ 7 ^ (3<7-f-a, 7<!a-f-l3, L'équation (i) peut toujours être satisfaite en posant sin 2 A = sin2B = sin2C = o, deux des angles 2 A et 2 B étant égaux à tt, et le troisième à zéro^ on a une position d'équilibre qui convient dans tous les cas.
203. Condition d'équilibre du genou, (Licence, 1860.) Le genou se compose essentiellement de deux barres OA, AB articulées en A; l'extrémité O est articulée en un point d'une droite fixe OX, tandis que l'autre extrémité B est assujettie à glisser sur OX. Une force F dans le plan OAB agit sur un point C de OA, tandis qu'une autre force R pousse le point B dans le sens XO 5 étant donné l'angle o de F avec OA, trouver la force R qui peut lui faire équilibre.
Soient Tangle AOX, et OB = x ; si Ton donne à x Taccroissement dx^ à 9 T accroissement J0, le théorème du travail devient
— F X OC sintp^Ô — R ^^ = o.
D'ailleurs on a, par la Géométrie,
AB = OA -f- a:^ — 2a:0A cos9, x§x — OA(cos0^j; — ^sin6^9j =o;
éliminons $x et oO entre cette équation et celle du travail virtuel, et nous aurons *
R OC (or — OAcosô)sin«p
F"" jrXOAsinÔ '
la machine est d'autant plus puissante que 6 est plus petit; dans les appareils à frapper les monnaies OA = AB = OC,
o = 6 ; alors R = — cot0.
204. On imagine une pile triangulaire de boulets sphériques parfaitement polis, dont la base serait retenue par trois murs verticaux formant pj^isme triangulaire; déterminer la pression exercée contre chaque mur.
Soient n le nombre des boulets qui forment un côté de la tranche inférieure, a leur rayon 5 écartons virtuellement tous les boulets de la tranche inférieure de manière que la distance des centres de deux globes contigus deviennent 2(a-he), et que le centre O du triangle circonscrit à la base ne bouge pas. Les côtés du triangle formé par les centres des boulets qui sont au périmètre de la tranche inférieure augmentent de 2(71 — i)e, et chacun de ses côtés doit s'avancer à rencontre du mur de — =-£ : si donc on remplace
la fixité des appuis par l'adjonction d'une force F qui produise le même effet, au recul des parois correspondra un
SUR LÀ MÉGÀNIQUE RÀTIOlflïELLE. 4^3
travail virtuel — {n — i)eF^. D'autre part, soient D le centre d'un boulet de la deuxième tranche reposant sur trois de la première dont les centres sont A, B, C 5 I le centre de ABC -, la hauteur de D au-dessus du plan ABC
était d'abord V4«' — AI ^ AI augmentant de JAI = --=, la distance de D à ABC diminue de
telle est la quantité dont chaque tranche se rapproche de celle qui la supporte. En tenant compte de l'abaissement des diverses tranches et du nombre de leurs boulets, en appelant P le poids de l'un d'eux, on a le travail virtuel de la pesanteur
(/i— 1)72(72 -+-l)(7Z -4- 2) Pt
En égalant ce travail au travail résistant des parois, on en tire
Pour une pile à base carrée, on a, dans des circonstances analogues,
4^4 RËGUEU. d'exercices
205. Un point pesant M est attiré "vers deux points A et B proportionnellement à la distance; il est porté par une tige sans niasse qui peut tourner autour du point O, milieu de AB^ position d'équilibre; reconnaître si l'équi' libre est stable ou instable.
Pour décider de la stabilité de TéquiUbre d'un système, on peut supposer les divers points légèrement écartés de leurs positions d'équilibre, chercher les forces auxquelles ils sont alors soumis et la nature de leurs mouvements, en se bornant aux termes principaux des équations que l'on obtient; on voit si les points tendent à osciller autour de leurs positions d'équilibre ou à s'en écarter de plus en plus. Mais Lagrange a établi une règle qui suffit souvent : supposons que le travail correspondant à un déplacement virtuel quelconque du système soit la variation exacte d\ d'une fonction Aile fonction des forces : quand V passe par un maximum, il y a équilibre stable ; quand il est minimum, l'équilibre est instable.
Dans le cas proposé, on peut, admettre que, pour l'équilibre, M doit être dans le plan vertical qui contient AB. Appelons Q l'angle dont OM a tourné en partant de la direction OA et commençant par passer en dessous ; a les distances OA, OB; c la longueur OM, X et fx les attractions de A et B sur M à l'unité de distance, P le poids de M; on a pour expression générale du travail virtuel
^V=:— XAM^AM — ftBM^BM -f- P5(csinÔ)
= Pcrcos0^0 — -^(xÂM'4-fABM');
mais AM =?a'-hc' — aaccosô, BM =a*-f-c'-f-2accosfi;
donc
^V = [a(fA — X) sinÔ 4- P cos9]c^9;
p cJV s'annule pour taneô = —7- : : on a deux valeurs de fl,
a et TT -4- a. Pour savoir si l'équilibre est stable, comme la fonction V existe et ne dépend que d'une variable, prenons
^2V=z[a(fi — ^)cosô — Psinô]cW=:[a(fA— X)cotô — P]csinô59>;
la parenthèse se réduit à — ^(f* — ^)' — P pour les valeurs
de répondant à l'équilibre . Si donc on prend = a < tt, J'Vest<^o,V maximum, équilibre stable^ pour6=7r H-a, V minimum, équilibre instable.
Principe de d'Alembert.
206. Dans tout système en mouvement, il y a à chaque instant équilibre, en vertu des liaisons, entre les forces extérieures appliquées au système et les forces d'inertie, c'est-à-dire les forces égales et de sens contraire à celles qui donneraient à chaque point supposé libre le mouvement qu'il a réellement \ pour le point de masse m et de coordonnées x^y^ z, les composantes de la force d'inertie sont
— yW , , > — 'W— - — y — /W-r — •
dt^ dt^ dt^
Ce principe, Tun des plus importants de la Mécanique analytique , ramène la Dynamique à la Statique. En exprimant l'équilibre idéal qu'il indique à l'aide de l'équation du travail virtuel et considérant tous lès points d'un système en mouvement, on a
(■)2;(x-„^)^+(T-™^)»^H-(z-».iî),.=o.
Jx, djr^ $z sont les projections rectangulaires d'un déplacement virtuel compatible avec les liaisons, telles qu'elles existent à l'instant indivisible t. Si les liaisons changent
4^6 AECUEIL d'exercices
avec le temps, ces déplacements peuvent être irréalisables. Quand les équations de condition sont
on a des relations de la forme suivante :
df df df df
dx dy dz dxx
Ajoutons à l'équation (i) les équations analogues à la précédente, multipliées par X^,. . ., X„, et annulons le coefficient de chaque variation,
d-^x . df, dfn
C*» C«»vC# \M09A0
Y— m---f^-t-X|-fi-f-...4-X„f^ =0, dt^ dy dy
La liaison y= o produit des réactions dont les composantes, appliquées au point {x^y^ z), sont X/^J, X^', X//, et ainsi aux autres points.
207. Le lecteur pourra appliquer le principe de d'Alembert aux problèmes que j'ai développés sur le mouvement des systèmes j je prends seulement un calcul qui sert à trouver les pressions exercées sur deux points fixes par un corps tournant autour de la droite qui les joint \ ce sont les résultantes des forces extérieures et d'inertie. Je me borne à composer ces dernières. Reportons-nous aux notations du vP 182 : les composantes de la force d'inertie du point m sont, la rotation ayant lieu autour de l'axe des z^
d^x d ~" ^ 'dt^ ~ Ht ^^'^ ^=^rn[*a^x -4- «'jj,
dt* ^ *^ ^
dt^
Si l'on transporte ces forces à Torigine, on a une résultante
et un couple dont les composantes, situées dans les plans coordonnés^ sont
208. Un point matériel M est renfermé dans un tube circulaire horizontal dont le centre reste fixe et dont le rayon augmente proportionnellement au temps; le point étant mis en moui^ement, déterminer sa trajectoire et sa pression sur le tube.
Le rayon du tube peut être représenté par r = a-\-bt'^ la pesanteur est la seule force extérieure qui agisse, et l'équation de d'Alembert devient, en prenant Taxe du cercle pour axe des z,
(,) ^m — 8x^m~8y-[mg^m—yz = o.
Les coordonnées du mobile sont assujetties aux relations
(2) a:^-{-y^z^[a'^ bty, z = O.
Prenons les variations, en regardant t comme constant.
Ajoutons à Téquation (i) ces équations multipliées respectivement par X et X', et égalons à zéro le coefficient de chaque variation,
(3) Xx = »t — , \jr = m — , y=mg + m—.
4^8 KEGUEIL d'exercices
Eliminant X entre les deux premières, on obtient
d^y d^x dy dx
dt^ -^ dt^ - dt -^ dt
On remplace x^ y par les coordonnées polaires /•, 6, et l'équation précédente devient
dt ^ ' dt
Intégrant et faisant 6 = o pour f = o, on trouve
= lVi Î V i=i = ifo il^;
b \a a-^-bt) a-\-bt r c* \ abj
la trajectoire est une spirale hyperbolique dont l'asymptote
fait l'angle — avec Taxe polaire, et le pôle est à l'origine.
Les équations (3) font connaître l'action du tube sur le mobile. Comme 2: = o, on a d'abord V=:mg\ puis, en combinant les deux premières,
^ I dx dr\ l dx d^x dy d^y\ d l\ \
\ dt -^ dt I \dt dO dt dO ] dt\i J
OU, en tenant compte de ce qui précède,
^ dr 'd i / , c*\ me* dr mc^
dt dt 1 \ rV T^ dt r*
La pression exercée sur le cercle sera égale et de sens contraire à la force qu'on vient de calculer-, elle a une composante verticale égale au poids de M, et une composante
mc^
— dirigée suivant OM prolongé.
209. On donne deux petits poids égaux. A, B, assu-^ jettis à rester, le premier sur un plan incliné P, le second sur une verticale D, et s' attirant proportionnellement à
SI3B. hk MÉCANIQUE HÀTIONNELLE . 4^9
la distance; déterminer leurs moui^ements sans tenir compte du frottement. Cas particulier : l'angle i de P
ai^ec l'horizon a pour sinus ^ > les positions initiales de A
et B sont celles qui com^iendraient à l'équilibrey et la vitesse initiale de A est telle, que ses projections sur une horizontale et sur une ligne de pente de P soient égales chacune à la vitesse initiale c de^, (Licence, 1874')
Je prends pour origine le point d'intersection de D et de P, pour axe des x la ligne de plus grande pente qui y passe, pour axe des j- une horizontale de P, et pour axe des z une normale au plan dirigée en dessous ^ je suppose les masses de A et de B égales à Tunité, et j'appelle /x' leur attraction à Tunité de distance ^ les coordonnées de A sont j:,j^, o, celles de B x', o, 2'. Il est facile d'écrire l'équation de d'Alembert, où manquent $z et Sj-^ qui sont nuls ;
^.(^«.^/)^g.sin/-^^a/
-f- ( g cosi — fA'21' -r-j j Sz'= o.
Au lieu de prendre la relation z'= x'coti, que la figure rendrait évidente, il vaut mieux considérer la distance OB'=r, qui donne a:'=rsini, z'=rcosi, dx^=smidr^ dz'= cosiâr. Egalons à zéro les coefficients de 5x, Sy et âr dans l'équation, (i), et nous aurons les équations générales du mouvement
~ r=z ^»(^sin^ — .r) -hgsini, ^ = - f*'/i (2) {
— r=§^-f-fA'(:csin/-r).
43o RECUEIL d'exercices
Soient «, P, p les valeurs de x^j-^ r qui conviendraient h l'équilibre 5 on peut les calculer à l'aide de l'équation du travail virtuel, qui n'est autre que l'équation (i), où l'on
aurait supprimé -7-^ » • - • 5 on en conclut un système d'équa-
tions correspondant au système ( ï) ) :
(3) fA*(psinz — a)-4-gsin/=o, p = o, ^^'(asîni— pj+g^^o.
Ces équations donnent a^^etp. Posons
et retranchons les équations (3) des équations (2) ; .^-^=^»(r,sm^-^l), —-^^-^ïj-,, .^ = ft>(a:»smi~r.).
On remplace la première et la dernière par celles qu'on obtient en les ajoutant ou en les retranchant membre à membre,
d^{a:t'hn) ,
dt^ dt^
— p'(i -h sini) (a?! — r,).
Toutes nos équations s'intègrent séparément, et donnent pour les inconnues qu'elles renferment des valeurs périodiques. Dans notre cas particulier, Xi, j^i, r^ sont nuls à l'instant initial ^ leurs dérivées par rapport à t ont alors la
valeur commune c, et, comme i — sini = jy on trouve que les intégrales générales se réduisent ainsi :
7i = - smafy xi -f- r, = -2— sm - »<, x» — r, = o.
L'équation de la trajectoire de A s'obtient en éliminant fif entre les valeurs de Xy et de ji : fx'xj = 4c'(xî — y\).
Prenons des coordonnées polaires u et avec le point a, (3
pour pôle,
ac'cosaO
cos*ô '
c'est une courbe du quatrième ordre, qui ressemble à une lemniscate de Bemoulli.
210. Déterminer le mouvement d'une chaîne homogène, flexible y très-mince, mais pesante, placée sur deux plans inclinés dont l'intersection est horizontale, et de^ i^ant rester dans un plan perpendiculaire à cette intersection.
Soient OP, OQ les deux lignes de plus grande pente sur lesquelles glisse la chaîne; a, /3 leur angle avec Thorizon; la longueur de la chaîne, e la masse de l'unité de longueur, X la portion OA de chaîne qui est suivant OP -, la longueur OB, suivant OQ, sera égale à / — x. Pour un déplacement virtuel îx, la somme des travaux des forces d'inertie et de la pesanteur sera
zgx^irxoL — ig[l — ar)sin^ — ^'"TT l^*'
Égalons ce travail à zéro, divisons par tdx^ et faisons gr(sîna 4- âinj3) = la^ \
--- — a^x -+- fl' smfi = a.
Les intégrales sont
dt fi'sinB /sin6 ^ ^^ « .^,
à* sma + sinp
on peut toujours supposer, en prenant pour notre premier
432 HEGUEIL d'exercices
plan incliné celui sur lequel la chaîne descend d'abord, que la valeur initiale de — soit \>o^o\ les constantes sont déterminées par les relations
a sina -h sin^
On a toujours A > B. Si A > o, la vitesse ne s'annule pas, et toute la chaîne passe sur OP5 ensuite son mouvement devient uniformément accéléré^ mais, si A <[ o, la vitesse s'annule quand Ae"* = Be"*** ^ alors on a
^sinô
X = -T-T -, h 2 Ac«' < /.
sm p -f- sma
La chaîne n'est pas tout entière sur OP5 après s'être arrêtée , elle rebroussera chemin et continuera indéfiniment son mouvement sur OQ. La tension, en O est à un instant quelconque
d^x sffjrf/ — .r] (sina -H- sinS)
«ffjjsma — ex— -— = ~ — i -^ !-^:
^ dt^ Z '
son maximum a lieu quand x = -9 alors
T = -^ eg^Z ( sina H- sin p) .
Pour que la chaîne fût en équilibre, il faudrait avoir
/sinp
sina -h sinp
et la tension en O serait
eWsinasinB
sgxsmoL=^ 4 . ^ ;
sma-hsmp
cette tension est moindre que la précédente.
SUR LÀ HÉGA.NIQI3E IlA.TIOirirELLE. 4^3
flquations de Lagrange.
211 . Supposons que la position des diverses parties d'un système puisse être déterminée par certaines quantités, ?i9 9sv • • 7 7n) l^s coordonnées des points du système sont liées à ces variables par les relations
(l) x=:/{t,qi^q2,» » -, qn)f 7 =/ (^ Ç^n • • •)' ••••
Lagrange a donné une formule pour transformer en fonction des inconnues q l'équation générale de la Dynamique, fournie par le principe de d'Alembert,
W S*" (^ *"-^ IF^^^TF ^') =2;(x*^+Yîr+z*«).
Une simple substitution, sans artifice, donne au second membre la forme
Pour transformer le premier, considérons la demi -force vive du système, où S s'étend à tous les points.
Nous désignons par des lettres accantuées les dérivées par rapport au temps, et par D la caractéristique des dérivées partielles. Le premier membre de l'équation (a) peut s'écrire
Calculons le coefficient de iqi^ savoir :
ïqi'dt'b^' '^dt2dï^i^' '^2d î^ dtïqi^'dt" " Rec, — De S.-G. 28
434 RECUEIL d'eXEKCICES
Je difierentie la première équation ( i) par rapport au temps :
Comme /* et ses dérivées partielles ne renferment pas les y/, cette égalité donne
^x 'bx' ^
donc la somme que j'ai représentée par A; devient
^ "^af bq'i bq'i
puisque T ne contient les q' et les q que par l'intermédiaire de x\y\ «',.... On arrive à la valeur de B.- en dîflerentiant l'équation (3) par rapport à qi
bx* b^X b^x , b
bqt "" btbqi bq^bqi ^ * * " bqnbqi ^«
b^x "b^x , d bx
bqibt bqibqi ^ * " ' dt bqi^
donc
__ Y bT d^bx^ __ Y ^b£bT ' ~"^ bx' dt bqi ^ <)a/ bqi "" à^/'
Connaissant les deux parties du coefficient de J^/, on a immédiatement la transformée de l'équation (2) (les S se rapportant ici aux q) ^
Généralement les qi sont variables indépendantes, et les coefficients de leurs variations doivent être égaux dans les deux membres ; il en résulte les équations de Lagrange, qui donnent une solution uniforme des problèmes de Djna-
SUK LÀ MÉCANIQUE RÀTIONNELLIS . 4^5
mique. Quand il existe une fonction des forces ou que
X= — j • • 5 on a Q,- = — , et les équations de Lagrange
deviennent
,,. d n DT SV d ^T ^T DV
^^' dt ^q\ D/jr, ^^1 £/« D^, D^j ^<7a
On peut garder la même forme quand X^x -i- Y^ -f- . . .
n*est plus une variation exacte \ alors — est un symbole
