DV
tel que — dçi soit le travail virtuel correspondant au déplacement difi^ ce qui peut donner le moyen de le calculer directement.
Quand la fonction V existe, elle ne dépend point de t ^ si T en est aussi indépendant, on peut, des équations (4)) tirer Téquation des forces vives 5 ajoutons ces équations multipliées respectivement par dçi^ rfy,, . . . ,
DT ^ . DT x-i DV
OU
Comme T est fonction homogène du second degré des y', on a
et l'équation (5) devient
2é?T — £3?T == dY, T — V = const.
212. J'applique d'abord les équations de Lagrange à deux problèmes qui ont été traités autrement, et j'engage le lecteur à multiplier ces applications. Reprenons le
problème 155; je choisis des axes fixes : OXi suivant l'axe de rotation, OYi horizontal et perpendiculaire à OXi, 0Z| vertical. Les coordonnées du mobile M s'obtiennent aisément; en se reportant aux notations du n^ 155, on trouve
^1 = r sinf coscj f •— a sina) f, 2i = rsin^ sinoi>r + acos^t.
La masse de M étant i , la demi-force vive est
T=-(^','-f-y,*H-z',*) =- (r'»-f-r»w*8in^y-f-«'»^— 2«r'«sinf);
d'où, en revenant à la caractéristique dj
dT , . dT
dr ' ar
D'ailleurs, pour un déplacement virtuel compatible avec les liaisons, la pesanteur donne seule un travail
^V = — g9zi =z — g^rsin^ sincAt.
Les équations de Lagrange se réduisent à une seule
- ru'sm'f -h g'smf sm»f =o;
c'est précisément l'équation difierentielle qu'on a trouvée et intégrée. La méthode actuelle, très -avantageuse pour trouver le mouvement, ne fait pas connaître les réactions, qu'elle a justement pour effet d'éliminer.
Reprenons aussi le problème 170; la force vive a été calculée
2T = (m -+-/«' -h fi)r'*4-/î2r'8in*^0'%
-—- = (m -H m' H- air', -— = /nrsîn*«>0'S dr ^ ^ ' dr
:=:mHsm>ô', — c=o.
STTB. LA MÉCANIQUE IIATIOKIIELI.E. 4^7
En outre, Sy = g(m costy — m.')dr; donc
— =g-(mcosç-m), ^=o.
Les équations de Lagrange sont au nombre de deux : (m -h /7i'-h ft) -7 mrQ'* sia^(f= g [m cosf — m'), — r'0'=o;
la seconde donne Féquation des aires, et, en la combinant avec la première, on retrouve celle des forces vives.
213. Un tube circulaire très-mince est assujetti à rester dans un plan ^vertical et à rouler sans glisser sur une îiorizontale de ce plan ; une petite bille M peut se mou" voir sans frottement à l'intérieur du tube. Déterminer le mouvejnent du système en supposant nulles les vitesses initiales du tube et de la bille.
Je prends pour axe des x Thorizontale fixe, pour axe des j^ la verticale qui passe par le point de contact initial de l'anneau avec OX. Soient, à Tépoque t, C le centre du cercle, CI le rayon qui va au point de contact avec OX, A le point de la circonférence qui a été le point de contact primitif, a le rayon de l'anneau, l'angle ICA, y l'angle ICM; je suppose CM et CA situés de part et d'autre de CI. L'abscisse de C est aB\ les coordonnées de M sont
(l) ^=:a(ô-f-sing>), y=.a[i — COSy);
m étant la masse de la bille, sa force vive est
Le mouvement élémentaire de l'anneau est une rotation autour de I avec la vitesse Q'\ (â désignant sa masse, le moment d'inertie par rapport à une perpendiculaire à son
438 B.ECUE1L d'exercices
plan, menée au point I, est sjsxa*; donc, tout de suite,
Nos variables q sont ici 6 et cp, et les dérivées partielles ~,-=/?ia2(0'4-ç'cosy) -h2fAa«0', — =0,
— -- =/7ia'(© 4- O'cos®), — = — /wa'ô © sm®.
Comme le tube ne glisse pas sur OX, le frottement qui se développe en I ne produit pas de travail virtuel pour un déplacement compatible avec les liaisons, et 5V se réduit ici à — mg dy = — mga sin cp îcp . Les équations de Lagrange deviennent
-- [/7l(ô'-hç C0Sy)-H2fiiô ]=i:0, «( -f~ -1-COSf — J -Hg^smç=:0.
On en déduit l'intégrale des forces vives \ a étant la valeur initiale de 9,
(a) /?2fl(Ô'^-hç''-H2Ô'^'cosy)-h2pa9" — 7,mg[cost^ — cosa)=o.
Quant à la première du groupe, elle s'intègre toujours une fois^ mais, s'il n'y a pas de vitesses initiales, l'intégrale se silnplifîe :
(3) /72(ô'-i- «p'cOSç) -4- 2fxÔ'=0,
On peut alors intégrer une seconde fois \ (4) w(ô H- siny) H- 2fxO = msina.
Si l'on élimine 6' entre les équations (2) et (3), on trouve
(5) ^'=r ^y'^^^y , /^. Ag (/n+2fx)(cosy — COSa)
Il est évident que y diminue d'abord, il décroîtra jusqu'à — a; pendant ce temps, 6 ira de zéro à 61 = ? valeur tirée de l'équation (4) pour ff = — «^ x décroit de asina à a ^sina: r va de a(i — cosa) à zéro, puis
revient à sa valeur primitive. Dans un intervalle de temps égal au premier, <f^9^ œ^j varient dans un sens opposé, et l'on a une suite d'oscillations. La trajectoire de M s'obtient en éliminant cp et 9 entre les équations (i) et (4)
c'est une ellipse tangente à OX et dont le grand axe est vertical ; mais il n'y a de parcouru que l'arc au-dessous de la droite y =a{i — cosa) .
Le temps d'une demi-oscillation s'obtient en intégrant la seconde équation (5); on est conduit à une intégrale transcendante^ mais, si l'on suppose que a et cp soient assez petits pour négliger leurs carrés et que m ne soit pas beaucoup plus grand que 2fx, on trouve
^<P 4 /5'('« + 2p)(a» — tp»)
dt V 2 fia
r dt /g m-h^n.
21 4. Unjil sans masse, fixé à Vune de ses extrémités O, porte deux petits poids A, B, attachés à des distances différentes du point 0\ déterminer les oscillations du système, quand on V écarte de sa position d* équilibre, de manière que les deux portions du fil restent tendues et ne sortent pas d ^un plan vertical donné,
(Agrégation, i8440
440 RECtJEIL d'exercices
Soient a et b les longueurs OA, AB; f et ^ les angles qu'elles font respectivement avec la verticale; m, n les masses de A et B -, on a
2T = /na»/2-H/i[a»ç'2|^2^/ï^ 2«^y'4*'cos(4» — f)].
La pesanieur est la seule force qui donne un travail virtuel
^ = — mga sixkfSff — ^g(^ sin^^y -+- b sin>p^\p ).
Les équations de Lagrange deviennent, après de simples réductions,
— ^2^ ( -7- ) sin(^ — (f) -h [m -^ n) g sîntf =1 o., ^ -^ -4- û ^ cos(4; — y) — a ( ~ j 8in(^|; — tp) + gûn^ = o.
On a l'intégrale des forces vives, mais on n'aperçoit pas d'autre intégrale première rigoureuse. Dans le cas des petites oscillations, en négligeant les termes du troisième ordre par rapport à y, ^|/, cp', ip', <{/', t(/', les équations deviennent
, , d^9 d^it
Cherchons à y satisfaire par des valeurs cp = e^*, ^p = Xe^* :
ar*
on doit avoir X = -r— » et
br^'+'g
(2) {m -h n) [ar^ -\- g) [br^ -h g) —nabr*=o.
L'équation en r* admet deux racines. Tune inférieure à ^ et à — Ti» l'autre supérieure à ces deux quantités,
mais encore négative. Sî ces racines sont — rj, — rj, les intégrales du système (i) seront
ç = A cosTi ^ -h B sinr, ^ H- C cosrj^ -+- D sin rtt,
^ = r-r fA cosr,^-h B sinrif) h \—~ (C cosr^t -f- D sinr,^).
Quand les vitesses initiales sont nulles, il en est de même de B et de D ; et, si a et |3 sont les valeurs primitives de cp et (p, on a, pour déterminer A et C,
^ kar\ Cari
Pour que les deux portions de fil oscillent comme des fils de pendules simples, il faut que A ou G s'annule 3 soit C. Les conditions précédentes donnent alors
substituant — r\2i r^ dans l'équation (2),
(m-h/i)aa'-f- [m'\- n)[b — fl)«p — /iiôp* = o.
On a toujours pour - deux valeurs réelles de signes contraires ; la positive est <[ 1 5 pour toutes deux,
ç = a cosr, f, 4^ = p cosri t
Les oscillations des deux fils se correspondent, mais leur amplitude est différente ; leur durée
2îf
ïr=^Vî('"-''i)
44^ KEGXJEIL d'exercices
est comprise entre les durées d'oscillation des pendules simples de longueur b et a -h h.
J'indique seulement un problème tout à fait analogue au précédent :
Un tube circulaire, mince et homogène, peut se mouifoir dans un plan vertical autour d'un point de sa circonférence; il renferme une petite bille qui peut se mouvfoir sans frottement à l'intérieur ; déterminer les oscillations du système quand on l'a écarté de sa position d'équilibre.
Soient (xelm les masses du tube et de la bille, O le point fixe, C le centre du cercle, R son rayon ; on peut déterminer la position du système par l'angle de CO avec la verticale et l'angle y de CM avec OC prolongé. On trouve aisément
?.T= 2 fAR» 9'» -h m 14 cos^ i (pô'2 -4- f " -4- 4G'ç' ces' i (p I R^
^V = — pg-R sinô^ô — /7ig-R[sme^ô -f- sin(e -h «p) [SQ -h ^f )],
et l'on en déduit deux équations analogues à celles du pendule double.
215. Une sphère est animée d'une très-grande vitesse de rotation autour d'un de ses diamètres, qui peut tourner dans un plan horizontal autour de son milieu; déterminer le mouvement que prendra l'axe sous l'influence de la rotation de la Terre.
La force centrifuge composée ne produit pas de travail effectif, mais elle peut donner un travail virtuel, parce qu'elle n'est pas normale aux déplacements virtuels des points où l'on doit l'appliquer. Pour évaluer ce travail plus aisément, composons toutes les forces centrifuges composées appliquées aux points d'un solide de révolution qui tourne avec une vitesse relative o) autour de son axe. Je
SUR LÀ MÉCAiriQXJE lULTIOlTirBLLE. 44^
prends le centre de gravité pour origine, Taxe pour axe des Zy deux droites perpendiculaires pour axes des x et des^; soient p, q^ r les composantes de la rotation d'en* trainement; celles de la vitesse relative d'un point sont — tùj^ tùx, o. La résultante de translation des forces centrifuges composées a pour projections (voir n® it3)
X ^=f7. rvixdm •= o, Y =zj'ir(ùydm = o, Z =:ijitù[ — qy — pjc)dm=:^ o.
Les projections de Taxe du couple résultant sont
L = — 2(^fdm[x[qx -hpx) -h zrjr] =. — ^qf^Jy^dm^ M = 2 tàjdm \zrx -4- x ( qy -h p j: ) J = ^ptafx^dm^ N=^0;
"xjx^dm et ifj^dm sont égaux ctacun au moment d'inertie pt par rapport à un des rayons de Téquateur. Le couple a son plan parallèle à Taxe de la rotation relative o) et à celui de la rotation d'entraînement. On peut le former avec une force /izo), agissant suivant OZ, et une force égale, parallèle, mais de sens contraire, appliquée au point de coordonnées /?, y, r, c'est-à-dire à l'extrémité de l'axe de la rotation d'entraînement.
Cela posé, prenons pour axe des j: la tangente au méridien terrestre dirigée vers le nord, pour axe des y la tangente au parallèle dirigée vers Test, pour axe des z la verticale montante^ soient OA le rayon de la sphère qui reste horizontal, ^ l'angle XOA, (f l'angle dont la sphère a tourné autour de OA à l'époque t. Le mouvement apparent du solide résulte des rotations ^' autour de OZ et y' autour
de OA-, T = -jx(çf"-H^'*). L'axe instantané ne coïncide
pas avec OA, mais on peut négliger leur écart si (p' est très-
444 RECUEIL D^EXEEGIGES
grand. Soient n la vitesse de la rotation diurne, X la latitude-, le couple résultant des forces centrifuges composées peut être formé approximativement par une force (f'fi suivant OA, et une force F, égale et de sens contraire, agissant au point M de coordonnées — /zcosX, o, — nsinX; à une rotation $(f correspond un travail nul, car F est normale au déplacement de M^ la rotation d^ fait décrire à M un arc «cosXJcp parallèle à OY, mais de sens contraire, et Ton a un travail virtuel jxy'/icosXsin^peîcp. Les équations de Lagrange sont
-r =0, -r Tiç'cosXsmJ» = 0.
dt dt ^ ^
La vitesse de rotation ff' autour de OA est constante \ quant à ^, il varie suivant la loi d'un pendule simple de lôn-
gueur — ,~ — - ; OA tendra à se rapprocher de la partie sud
de la méridienne, et ses petites oscillations auront lieu dans
le temps ■» A Paris, pour une vitesse de 4o tours
V««p' cosX
à la seconde, le temps d'une oscillation complète est d'environ 56 secondes, ce qui a été vérifié par Léon Foucault.
Équations d'Hamilton et dé Jacobi.
216. Les équations de Lagrange conduisent à un autre système d'équations de forme remarquable, dans le cas, commun à beaucoup de problèmes de Dynamique, où il existe une fonction des forces, V, et où les liaisons sont indépendantes du temps. Conservons les notations du n® 206 et posons, en outre,
Vir — Piy ^i=P2^ •■•5 ZT ^=^Pnî
SUR LA MÉGAI7IQT7E RATIONNELLE. 44^
si l'on tire de ces équations les valeurs des q' et qu'on les substitue dans^T, la demi-force vive sera exprimée par une fonction connue des q et des p. Quand nous prendrons ces quantités pour variables indépendantes, nous désignerons les dérivées partielles par la caractéristique d^ réservant la notation d pour le cas où les variables indépendantes sont les qi et les q[. La différentielle totale de T peut s'exprimer de deux manières :
D'autre part, les liaisons étant indépendantes du temps, les dérivées des coordonnées des points du système par rapport au temps s'expriment par des fonctions linéaires homogènes des q* \ T est donc une fonction homogène dii deuxième degré de ces mêmes q\ et le théorème relatif à de pareilles fonctions nous 'donne
Prenons les différentielles totales
2C?T = 2pidq\ -h 2 q\dpi.
J'ajoute membre à membre les équations (i) et j'en retranche la précédente; il reste
Les différentielles étant indépendantes, le coefficient de
chacune doit être nul :
(iqi dqi
, dqi dT
Revenons aux équations de Lagrange : la fonction Y étant indépendante des q' et des p^ on a
TiY dV ^ .
T^qi dqi dpi
une quelconque des équations de Lagrange devient
dpi dT dV
dt dqi dqi
On considère la fonction V — T, et Ton pose, avec Hamilton.
Les équations de Lagrange, modifiées comme on vient de le faire, et les équations (2) nous donnent les équations du mouvement sous la forme canonique
dp, dn
dt '^ dq,^
dp, ^H dt . dq^
dp^ dfL ' dt "" dq,'
dq, £fH dt dpx
dq^ d^ dt dpt'^
dqn dB^ *' dt dp^
Les systèmes d'équations simultanées de cette forme, où Ton pourrait supposer que H contient explicitement la variable t, ont donné lieu à d'importantes découvertes, faites notamment par Poisson, Cauchy, Hamilton, Jacobi, MM. Bertrand et Liouville -, je me borne à exposer le théorème le plus célèbre, dû à Jacobi, en me restreignant au cas de nos problèmes où H ne contient pas t explicitement
SUR LA MÉCANIQUE RATIONirELLE. 447
et garde une valeur constante, — X. Jacobi prend Técpation aux dérivées partielles
(5) 4'(^ii<72i-- -1?»» ^^
