j— y • • • > -;; — 1 -h A = O, dqi dq^J

où^ désigne la fonction (3), dans laquelle on a changé les p dans les dérivées partielles de la fonction inconnue S : Si Von peut trouver une intégrale de cette équation avec n — I arbitraires autres que celle quon peut introduire par simple addition, soit

on aura immédiatement les intégrales générales du sj-stème (4), qui seront

.^. r?F d¥ dY

Piî P« V • î P„i, e eto/zi n nouvelles arbitraires. *

Ces équations renferment le nombre voulu, an, d'arbitraires, et nous allons voir qu'elles conduisent au système (4). Differentions la première du groupe (6) par rapport à t, puis intervertissons l'ordre des dérivations; enfin, tenons compte des équations (7) : on a successivement

2 d^Y dqi iç flPF dqi y^dpjdqt doL^dqt dt ~' Zàdqidtjiy^ dt '^ Zàdoiy^ ^'

on obtient ainsi un groupe de n équations

^^J ZédoL.'di-''' -^^«„. ^r -"°' Zàdkli-^^'

D'autre part, puisque S = F est une solution de (5), on a

l'identité

Difierentions par rapport à «i, «tv*-? «n-i? ^» elrempla-

dF çons — par Pi, et ainsi de suite on a tz équations

2d^ dpi %r^ ^4* ^Pi . V* ^ ^Pi

Ce groupe ne diflere du groupe (8) que par le changement

des ~- en r^i comme tous deux sont linéaires, par

dpi dt^ ^ ^

rapport à ces quantités, celles-ci doivent être respectivement égales, ce qui donne les n premières équations (4)- Différentions la première équation (7) par rapport à f, et transformons comme nous l'avons fait pour les équations (6), on a

2^F dqt ^ gPF dgi ^dp(dqi dq^dqi dt ^aâdqidqx dt ^ddq^ dt

On peut remplacer -^ par — ^ » d'après ce que Ton a déjà vérifié \ il vient alors

dt ^bmk dpi dqi

Mais différentions l'identité (9) par rapport à ^1, et remplaçons les — par les /?/,

d^ "^ d^ dpi

ay ^ y gy api ^ dqt ^ dpi dqt

La comparaison de ce résultat avec l'égalité précédente

justifie la première équation de la seconde moitié du système (4), et par suite les autres analogues.

Quant à Tintégrale F, on n'a pas de méthode générale pour Tobtenir^ mais, en choisissant convenablement les Inconnues du problème, on peut séparer Féquation (5) en plusieurs autres à une seule variable indépendante, et trouver une intégrale avec n — i constantes, comme on le verra aux applications qui suivent.

217. Je commence par un problème tout à fait simple, mais pour lequel on pourra former sans aucun embarras toutes les équations précédentes, et y lire des résultats bien connus. Il s'agît de déterminer dans un plan vertical le mouvement d*un point pesant de masse m. Je prends pour q^ et ^2 les coordonnées rectangulaires de m, l'axe des q^ étant dirigé dans le sens de la pesanteur. On a

d'où l'on déduit

p, = mq\, p^=zmq\, T =—-(/?? -t-/?J)

^ fit

D'ailleurs V = rngq^^ donc

B.^mgq^ — —-[p\'\-p\],

jt fit

Les équations canoniques sont

dpi ^j dqx /?, dq2 Pt

~dt~~'^' dt"'^^ 'di'^'rn^ ^t'~^lrn

.Rien de plus facile que de trouver et de reconnaître les intégrales de ce système^ mais voyons celles que fournit le

D£ S.-G. «- Rec, 29

4^0 EEGTJEIL d'eXEB.GIGES

théorème de Jacobi. L'équation en S est

fdsy /dsy

Cherchons à y satîsfaîre en prenant S =y{^i) -h ç(^î); il suffit que l'on ait, en désignant par a une constante arbitraire,

y'(<7,) = zm^g[qi-h a), /'^{qi) ^ 2m(X — mga).

On a par de simples quadratures f{^i) et 9(^«), et leur somme

Les intégrales (6) et (7) deviennnent

y/amfX — /«S'a) V^C^ — '«fi'a)

\l^m[l — mgx) =/?„ m^2^(y2-ha) =:/?2.

La première donne la trajectoire parabolique, la seconde la loi du mouvement et les deux autres les dérivées p^ et p, ^ on peut vérifier que

Rz=.mgqi [2/71 (X — mga] -4-- igm^{qi-^ a]] = — X.

ji fft>

Les constantes X, a, P, e se déduisent des circonstances initiales.

218. Etudier dans un plan le mouvement d'un point M attiré vers deux centres fixes F ef Fi, as^ec des intensités réciproques au carré des distances.

SUR LÀ MÉCANIQUE KÀTIOlîNELLË . 4^1

Supposons la masse de M égale à l'unité et FFi = a c ^ on peut définir la position de M en se donnant ses coordonnées x^ y par rapport à la droite FF^ et à la perpendiculaire en son milieu, ou les demi-axes focaux q^ q^ de l'ellipse et de Thyperbole qui passent en M et ont pour foyers F et Fj-, ces deux systèmes de coordonnées sont liés par les relations

on en conclut immédiatement

a^ -^ ' % q^^c" ^ T.c^ — qy'

Les dérivées partielles sont

On pourra exprimer T en fonction dep et de pi'^ d'autre part, avec des notations dont le sens est bien clair, on a

mais les propriétés focales de l'ellipse et de l'hyperbole donnent

La fonction H d'Hamilton devient

Les équations canoniques forment un système compliqué^ sans les écrire, nous, chercherons leurs intégrales par le théorème de Jacobi. L'équation aux dérivées partielles est ici, après de légères transformations,

Posons, comme précédemment, S =f(q) -I- ^(^i), et écrivons, en nous bornant aux signes supérieurs,

(<^' — ^^ÎIt'M^') == 2 (fi — fx,)y,— îX^rJ — a; l'intégrale F, renfermant une arbitraire a, est ici