COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES
18. Quand on a un système de forces parallèles, mais qui n'agissent pas toutes dans le même sens, on pourra les traiter de la même manière dans les calculs, à condition de donner le signe -f- à celles qui ont une direction, le signe — à celles de direction opposée. Il y a généralement une résultante parallèle aux forces données, égale à leur somme, et dont le moment par rapport à un plan quelconque est égal à la somme des moments des composantes; désignons celles-ci par P, P',. . . et les coordonnées de leur point d'application par x,j^, z] x\y\ -^'v-o nous aurons, pour déterminer la grandeur de la résultante et les coordonnées de son point d'application,
/ X « vw. 2P^ 2Pr 2Pz
le point Xi, 7i, ^i, centre des forces parallèles, est indépendant de leur direction.
Lorsque 2P = o, il ne s'ensuit pas qu'il y ait équilibre ;
il faut encore que les centres des forces parallèles qui agissent dans un sens et dans l'autre soient sur une droite parallèle à leur direction commune. Soit
une droite à laquelle ces forces sont parallèles ; les condi-
lions d'équilibre seront
2P^ 2Pr iPz
Si la première condition est seule satisfaite, on a un couple.
Pour que Téquilibre ait lieu quelle que soit la direction (a, [3, 7), il faut que SPo:, 2Pj^, EP^ soient nuls-, quand ces conditions sont remplies, si Ton change non pas la direction des forces, mais Torienlation du corps où elles sont appliquées, il y aura encore équilibre, et le système est dit asiatique.
Il peut arriver que les forces parallèles soient contenues dans un même plan
A.r -h B j -f- Cs -^ D = o ;
les deux dernières équations (a) se réduisent à une seule, et il est bien remarquable, dit M. Duhamel [Sciences de raisonnement)^ qu'elle ne dépende pas de D. Pour le voir, il suffit de former la fraction suivante, égale aux trois fractions (a) :
A2P.r -h B2Pj -h C2Pz
Aa-hBp-+-C7 '
le dénominateur est nul à cause du parallélisme des forces et du plan \ il en est de même du numérateur, parce qu'on peut l'écrire
2P ( Ao: -h Bj^ -+- C3) = — D2P = o.
Les trois équations ( 2 ) se réduisent à deux conditions et une identité.
19. Les propositions établies pour la composition des forces parallèles peuvent conduire à des théorèmes pure-
ment géométriques, et c'est un des cas nombreux et intéressants où deux parties différentes de la science se rapprochent et se prêtent un mutuel appui.
Appliquons aux sommets A, B, C d'un triangle trois forces P, Q, R égales et parallèles; on peut trouver le centre O des forces parallèles en remplaçant Q et R par une force 2 P appliquée au milieu de BC, puis composant celle-ci avec P^ O sera donc sur la médiane issue de A, et aux I de sa longueur à partir de A \ mais il serait aussi bien sur une autre médiane \ donc les trois médianes se coupent comme Ton sait.
De même appliquons aux quatre sommets d'un tétraèdre quatre forces égales et parallèles, et cherchons leur résultante en composant d'abord trois d'entre elles en une seulo, puis celle-ci avec la quatrième^ ou bien, en composant les deux premières, puis la troisième et la quatrième, et enfin ces deux résultantes partielles, on arrive aux théorèmes connus de Géométrie. Dans un tétraèdre^ les droites menées de chaque sommet au centre de gravité de la face opposée se coupent en un point qui les divise dans le rapport de 3 à I : ce point est au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées.
Soient encore appliquées aux sommets A, B, C d'un triangle des forces parallèles P = tangA, Q = tangB, R=tangC5 deux d'entre elles ont une résultante appliquée au pied de la hauteur tombant sur le côté dont elles tirent les extrémités^ donc la résultante des trois forces est appliquée au point de rencontre H des hauteurs, et égale à
F = tangA ■+■ tangB -4- tangC -- tang A tangB tang C,
d'après un calcul de Trigonométrie bien connu. Considérons maintenant trois autres forces appliquées aux mêmes
a8 KECUEIL d'exercices
sommets :
sinA ^ sinB ^ sinC
cosBcosG cosCeosA cosAcosB
Les deux dernières ont une résultante appliquée en un point I de BC, tel que
IB sinaC ÎG""8Ïn2B*
On reconnaît aisément que ce point se trouve sur la droite qui va de A au centre du cercle circonscrit*, les forces P^, Qi, R, ont une résultante appliquée au centre S du cercle circonscrit, et égale à
^ sinaA -4- sin2B -h sinaC . ^ r^ -^
^' = acosAcos Bl^^C— = ^ **"«^ *^"S^ tangC = .F.
Gela posé, remarquons que
« ^ sin A
P -h P, = tangA H
cosB cosC
sin AfcosBcosC -h cosA) , ^ ^ w^
:^ ^— ^ = tang A tangB tangC = F ;
cosAcosBcosG o o o
on peut donc composer les six forces données soit en groupant celles qui sont appliquées à un même sommet, ce qui donne trois forces F, dont la résultante sera au centre de gravité O du triangle, soit en formant les résultantes partielles F en H, 2F en S, et les composant^ il s'ensuit que le point O est sur la droite SH, de telle sorte que SO = 2 OH. On obtient le théorème sur les six segments déterminés par une transversale sur les côtés d'un triangle en composant quatre forces : P et Q appliquées en A et B, R et — R en C.
20. Proposons-nous, dans le cas général, de composer trois forces parallèles P, Q , R, appliquées aux sommets
SUR LÀ MÉCANIQUE RÀTIONIfELLE. 29
d'un triangle ABC. Les forces Q, R peuvent être rempla* cées par une force Q -+- R appliquée en un point A' de BC. Cette dernière, composée avec P, donne une résultante appliquée en O;
