Soient OA l'axe des j?, OB celui des j", et posons
OAr=a, OA~b, oa=py ob = //% on demande l'enveloppe des droites données par l'équation
sacliant qu'on a
OU
En difTérentiant les équations (i) et (a) par rapport aux paramètres variables, on a
par suite,
P' ou bien
. ir
Le résultat de rélimînation de p et de 9 entre les équations ( I ), ( 2 ), ( 3 ) peut s'écrire
c'est l'équation d'une parabole.
Cette enveloppe est employée quelquefois dans la construction des routes comme courbe de raccordement.
On peut généraliser le problème en remplaçant la condition [a) par celle-ci :
(b) /jq -\- bp -\- cpq =. ab»
Le calcul conduit alors à éliminer p et fj entre cette équation et les suivantes :
Pq=PX'^7''^9 q'.r[a-^cp) z=zp^r{b -»-<?/).
On tire successivement des deux dernières
aq^x— bp^y= cpq(px — qx], q^x[a -^cx] =ip^y[b -\- cy), p[b -{- cy) — q [a -^cx) ^=^ay — bx\
et, comme on déduit de Téqualion (6)
/? ( 6 H- rj ) -f- ^ ( fl -f- ^x ) = «^,
il en résulte pour l'équation de l'enveloppe
.r^ r* , , XY IX 1Y
a' 6' ^ ' ab a b
Les deux systèmes de points déterminés sur les axes par la droite mobile, en vertu de Téquation (i), sont dits homo graphiques . On voit que le calcul précédent démontre ce théorème :
Une droite qui se meut dans un plan en en détermi^ nant sur deux droites Jixes des divisions homographiques
eîivfeloppe une conique tangente à ct^s deux droites, [Voir Briot et Bouquet, Géom. analjt.^ chap. XI).
324. Appelant jr, et j^j les coordonnées de rextrémltf d'un diamètre, celles de son conjugué seront
et la ligne qui joint ces deux poiats a pour équation
hx^ (rt r -f- hx^ -f- ay^'yjLy — l)x) — à^b^=z o. On trouve pour l'équation de l'enveloppe
ix'* 1 r*
325. Si, dans Téqualion de la tangente en un point d'une conique, on remplace les coordonnées du point par les coordonnées a, 6 d'un autre point \k^ on sait que la nouvelle équation représente la polaire du point par rapport à la conique, le point /[x étant le pôle de cette droite. Cela posé, si la courbe C a pour équation
( I ) ax^ -f- o.bxf-+- er^ -f- "y/x -f- 2 g y -\- h =1 o,
la question revient à trouver l'enveloppe de la droite dont l'équation est
(2) cl[px-\- qj] -^^^[qx -ir ry) — \ z=zo,
les paramètres a et 6 satisfaisant à la condition
(3) aa'-h lba.^-h cê'-h 2/a -h '>-g^ -+- /i = o
Faisant pour abréger px -+- qy = P, qx = ry=i Q et nommant X un facteur indéterminé, on trouve
( >PH-aa + ^ê-h/ = 0,
SOLUTIONS. 23j
d'où
(5) — >+/a-f-^e + /r=zo.
On obtient le résultat de l'élimination de X, a, f entre les équations (2), (3), (4) et (5) en posant
Il en résulte, pour Téquation de Tenveloppe cherchée,
-f- 2 ( ^'g' — f/) P H- 2 ( bf— ag)q-h b^'-ac=:o.
En cherchant l'enveloppe des polaires des points de cette courbe par rapport à la conique (P)-, on retrouve C. Le fait est général : si les polaires des points d'une courbe quelconque A enveloppent une courbe B, réciproquement les polaires des points de B par rapport à la même conique enveloppent la courbe A. De là vient le nom de polaires réci'i^ro fues donné à ces courbes [Voir Briot et Bouquet, Géom. analyt,y chap. X).
326. Quelle que soit la relation y(u, v») = o à laquelle doivent satisfaire les paramètres, on est conduit à les éliminer entre Téquation de la droite et celles-ci :
X y Ces dernières deviennent ici 3 a [au — i)' — ibp
"~ -^ ~~ r d'où résulte pour l'équation de l'enveloppe
Si 4^ = î*7^'^ on a une cissoïdc.
= [au — \y(au + 2),
a38 CALCUL DIFFÉREWTIEL.
Les cjuantités u ot v, considérées comme des variables indépendantes, déterminent d^ns le plan une infinité de positions pour la droite représentée par ux + l'j ^= i ; on 'os nomme les cooritonnèes tangentielles de la droite. Cette Iroile variable a une enveloppe, quand il existe entre o et r me relation 9(u,t') ^ o, qui est dite alors ['équation lanji-iilielle de la courhe enveloppe.
La considération des coordonnées tangvntielles, due à >lu<;ker (Journal de Creite. t. V) se rallaclie au Prinipe de dualité, l'une des conceptions les plus importantes le la Géouiétrie analytique. [Foir Chasles, jépercu kàlo- ■,,„e.)
