L'équation de la spirale
e sous la forme
arc tati'' - = - !o^
2elle d'une hyperbole équilatère étant
;elte courl)e touchera la spirale au point 0 ^ w si l'on a
l) ni'=; a'c'COSaai,
a) utang2(j = i.
La polaire d'un point (x^y), pris sur la spirale, ayant pour jquationXj; — ïy =:»«', l'enveloppe des positions de celtt Iroite s'obtient en éliintaant x et / entre les équations
3) arctangi = ^log^!^.
Sî 1*011 passe aux coordonnées polaires, et qu*on fasse
X = r, cosO,, Y = r, sin©!,
comme on a déjà x = rcosO^ j = rsinô^ le système (3)
revient à celui-ci :
e (4) T-/-, cos(0 -h 0i) = w', r=ae', - = tang(ô -h 0,).
En vertu de la condition (2), la dernière des équations (4) donne
où k désigne, en général, un nombre entier, lequel est ici égal à zéro, puisque les angles 6 et di prennent simultanément la valeur w. De là résulte
rriz= rt'e\ et, par suite,
328. 1° Soit a l'angle de la droite variable D avec la normale au point 77i(jCjy) de la courbe donnée. L'équation de cette droite sera
U) (Y— j)(tanga-r')=:(X — .r )(!-+- /tan-a).
Une position de la droite variable, infiniment voisine de la première, détermine sur celle-ci un point limite fx dont les coordonnées X, Y satisfont à l'équation (i) et à la suivante
(2) (Y~j)(tanga-/0 + '-t-j'^ = (X-^) (:^'^--^"*^"S«) > qu'on obtient en différemiant l'équation (1) par rapport à x,
24o CALCUL DIFFÉREKTIEL.
On déduit de là
cosa(sina — j'cosa)(i -+-jr'*)
' cosa(cosa -h/'sina) (i -f-7'^)
et par suite,
cosa(i-4-y)'
Soit p le rayon de courbure de la courbe donnée 5 si l'on pose
cosa(T -4- j'*)'
la quantité r, qu'on peut désigner sous le nom de rayon de courbure oblique, se réduit à p quand a est nul. L'équation (4) revient à celle-ci :
cos a I da.
p cls
qu'il est facile de démontrer géométriquement.
1^ Pour trouver l'élément dS de la courbe lieu des points /!Ji, on a les équations
(8) (X— ar)éfX-f-(Y— j)^Y = (X— .r)^ + (Y— j)^/4-r^^
X — .r r/X Y— r dY
Or, des relations (3) mises sous la forme
cosa dy — sin a dx
ds
i „ smaoK + cosa<sr.r
on tire
(i 0 (X — .r) d.T -f- ( Y — y)dx •=. rds sina.
En rapprochant les équations (8), (9) et (ii), on est conduit à ce résultat simple :
(12) rfS = rfr -f- sin a rf.ç,
qu'on trouve aussi par la Géométrie.
329. r étant la portion du rayon incident comprise entre les courbes A et C, si Ton applique à ces deux courbes la formule (6) du numéro précédent, on trouve
cosa 1 doL r p ds'^
et de même, /*, désignant la portion du rayon réfracté comprise entre les courbes Aj et C, on a
cosai I doLy
r, p ds
D'ailleurs,
cosa dot = n cosoLi da^
/l cosa\ /i cosa' cosa I =/îC0Sa,
Cette formule générale a été démontrée par C. Lambert [Annales de Mathjématiques, t. XX). Petit l'avait donnée pour le cas du cercle, dans la Correspondance sur l'École Polytechnique, t. II.
Quand on suppose que la courbe A se réduit à un point, 1 équation (12) du numéro précédent devient
dr-h sina cis = o.
Freket. — Recueil. Iv3
a4a CALCUL différentiel.
Si la courbe Ai se réduit aussi à un point, on a de même
dtx -f- sin ft, d!f = o ;
par suite,
dr sin a
dr^ sin a,
d'où
f = /?r, -f- const.
C'est l'équation des ovales de Descartes ou lignes aplanétiques (Chasles, Aperçu historique, etc., Note 21).
330* Prenons pour origine le sommet du parallélépipède qui appartient au tétraèdre, pour axes les arêtes qui passent en ce point ^ appelons a, i, c les longueurs interceptées, sur ces arêtes à partir du sommet; l'équation du plan sera
abc
avec la condition
abc =z m^ = const*
L'enveloppe a pour équation
xyz ■=. — •
