Recueil d'exercices sur le calcul infinitésimal à l'usage des candidats à l'École polytechnique et à l'École normale, des élèves de ces écoles, et des aspirants à la licence es sciences mathématiques

Name: Recueil d'exercices sur le calcul infinitésimal à l'usage des candidats à l'École polytechnique et à l'École normale, des élèves de ces écoles, et des aspirants à la licence es sciences mathématiques
Author: Jean Frédéric Frenet

Jean Frédéric Frenet

Sciences et natureLecture classique6 h 45 de lecture

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De quoi ça parle

Animaux, étoiles, insectes, découvertes racontées par ceux qui les ont faites. 6 h 45 (27 quarts d'heure) de lecture.

Premières lignes

lioDS qui regardent la théorie des fonctions d'une variable imaginaire et celle des fonctions elliptiques. L'Auteur avait espéré tout d'abord traiter lui-même cet important sujet, mais les circonstances ne lui ont pas permis de réaliser son désir. Du reste, le lecteur n^aura pas à s'en plaindre. A la prière de notre éminent Éditeur, et avec une bonne grâce dont nous ne saurions trop nous montrer reconnaissant, M. Lau…

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Chapitres

AVERTISSEMENT15 min
IV. L'expression15 min
PRÉLIMINAIRES» IX15 min
PREMIÈRE PARTIE15 min
XII TABLK DES MATIERES15 min
DEUXIÈME PARTIE15 min
Soit une série à termes positifs15 min
Si les fractions positives décroissantes15 min
I-t- Wt -+- «2 -H . . • H- «n15 min
EULER15 min
p\m nj m -4- /î -h (/w — n)cosT15 min
Etant donnée la relation15 min
Soient15 min
Étant donnée la fonction15 min
X -+- j H- z -t- « = a, xjrzu = b15 min
Développer cos'x en série convergente15 min
Si Ton pose15 min
Trouver la relation15 min
J^ + iJ:+^=o15 min
r-; H- TT + TT = o15 min
u=.r''Jt,l15 min
x*", pour X r= o15 min
Fig. 2.) PAIO est un triangle sphérique rectangle15 min
Volume de rellipsoïde qui a pour équation15 min
La courbe représentée par Téquation15 min
Podaire de la courbe qui a pour équation15 min
Épicjcloïde (n15 min
Appliquer à la courbe représentée par les équations15 min
Mener un plan tangent à la surface qui a pour équatÎ3n15 min
Enveloppe des cercles donnés par Téquation15 min
UX -\- VY Z15 min
Enveloppe d'un plan qui touche deux sphères données15 min
! •-)^IL15 min
Si Ton multiplie chaque terme par h et qu'on pose15 min
Soit fait il en résulte15 min
Par hypothèse, la somme de la série demeure la même15 min
X -^ hp15 min
l'^Soit a>i. Ona15 min
Soit15 min
partie de la suivante15 min
L'expression15 min
On a15 min
On a les égalités suivantes15 min
I -f- «I H- ... -h Wn-i15 min
Posons l'identité15 min
La formule de Moivre conduit à la relation connue15 min
Le numéro précédent fournit les deux inégalités15 min
Si l'on déduit des relations proposées l'expression de15 min
Posons15 min
Soit15 min
V(/' — OC/? — 2,...(/?-/n-i)(a-ô^y15 min
On a iuectiquement15 min
tf«*cosèa?) xP15 min
I.3...(2X- — 0 /l — ar15 min
f(.'^l^)'=zy^h^-\ -^+...H15 min
I I • LA15 min
i^Ona et par suite15 min
A- -f- 1) 2*~"-^'P. 2.4.6. ..ik15 min
On a15 min
De Téquation15 min
Diaprés le théorème des fonctions homogènes, on a15 min
k.^Zy r-xMl-^') air15 min
On déduit de l'équation (i) (3) D,z=/(z)D,z15 min
Considérant le cas général, on a (n15 min
En posant15 min
On a15 min
Soit15 min
On a15 min
COS^, -; = I H 5 1 7 — F15 min
I smlorH ^- -7rj j(V) -f15 min
On a la relation (n15 min
La quantité15 min
in -f- l15 min
cos B15 min
T- = sinô — H15 min
Posons, pour abréger15 min
X- — y-y -z — hz-- = 7i15 min
L'équation proposée peut s'écrire15 min
On trouve, en différentiant15 min
g • La fonction proposée est la somme de la série15 min
r=x, pour x=zo15 min
Pour x = o,y=:o^ u s'annule, ainsi que15 min
Pour a:z= — et Y =: -:ri u =z — — ^ maximum15 min
Par la méthode des multiplicateurs on trouve15 min
Fig.6.) POM = a, OP = y, OM = e15 min
Fig. 8.) Soit fait15 min
I -^ sina I — sina15 min
Soit fait AP = a, YAX=9, MA = jc, MP =^, MPA = a15 min
L'ellipsoïde ayant pour équation15 min
h T — I — = I , équation de rdlipsoïde15 min
AC — B15 min
La tangente a pour équation15 min
Soient15 min
L'équatîon de Tellipse étant15 min
ABC15 min
Fig, 16.) L'origine est un point triple; l'une des15 min
Fig. 22. ) Asymptotes : a:=-9 j =: —^ ix -{- -A15 min
tig- aS.) L'axe des^ est une asymptote15 min
p. = ilfL15 min
a=:^ + 3(xj>)% 6=j-+-(3x»j15 min
L'équation de la courbe étant15 min
L'épîcycloïde étant représentée (n° 234) par les deux15 min
I** De l'équation évidente15 min
La relation proposée se ramène à celle-ci15 min
La variable indépendante étant or, on trouve15 min
L'équation proposée peut s'écrire15 min
X- 3? __ Y — x ___ Z — z au -h «w bu -^ 6» eu -4- yw15 min
D'après les formules {/) (p. 192), on a15 min
Les formules (rf), (e), (f) de la page 192 donnent15 min
La variable indépendante étant z, on a (p15 min
P^g* ^6-) Soient M un point du lieu, H et K les15 min
Des relations données par l'énoncé15 min
Soient15 min
Si 1 on pose — = a, -f =/>»,-- = c, et qu on de15 min
I® Les équations générales du D® 306 deviennent ici15 min
Le plan tangent a pour équation15 min
Les équations de l'hélice étant15 min
k désignant une constante, Téquation générale de15 min
On trouve15 min
Soient OA l'axe des j?, OB celui des j", et posons15 min
L'équation de la spirale15 min
On a l'équation15 min
X.r Yr Zz15 min
et fi étant des multiplicateurs indéterminés, les15 min
Les deux sphères ont pour équation15 min
î nY, «•=-7- Z15 min
Soient OMi, OM, les arcs de deux courbes ayant15 min
Deux courbes étant représentées par les équations15 min
Paraboloïde elliptique15 min
Les surfaces A et B ayant pour équations15 min
Trouver la fonction qui rend maximum Texpressioft15 min
FORMULES FONDAMENTALES15 min
S= f -^t-'—')^ . =arcsin(g^r15 min
s=(6-^) r^î^-^f riz15 min
S = ^— ^— 7T[(x-+-a)'— (x-+-^)M. Rem. du n15 min
COS15 min
Sz={ab) » arc tang | ( - ) langar15 min
I-hX15 min
i8. La dillércntielle, étant mise sous la forme15 min
En posant successivement15 min
tf15 min
On trouve, au moyen de l'intégration par parties15 min
TT I15 min
I -f- cos^r / I -f- cos15 min
On trouve, au moyen de l'intégra ti on par parties15 min
X -\- h 1 -+- /r l'intégrale devient15 min
On a, pour toutes les valeurs de a moindres que15 min
On a15 min
W = I SI15 min
On saît que Texpression ( i 1 9 toujours plus15 min
u = arc sm + ^^^^ '- -h G15 min
L'équation de la courbe étant ( - ) -h ( j ) = i15 min
I -+- tani-^e15 min
S = a log-ï l'arc étant supposé nul pour j^ = a15 min
COS0C15 min
INTÉGRAL15 min
L'équation de la conchoïde étant15 min
V = r r 'xç (^ j ^rfr15 min
Soient15 min
II15 min
On a (n15 min
L'équation dîirérentîelle de la cycloide étant15 min
L'élément co de Ja surface ayant pour valeur15 min
Foir n*» 506 et/g'. 29) ds désignant lelément de15 min
Par la méthode de la variation des constantes on trouve15 min
Les racines de l'équation à résoudre sont15 min
En mettant l'équation sous la forme15 min
En suivant une marche analogue à celle du numéro15 min
En posant15 min
Dans le cas particulier où Ton a15 min
j^-^'^' ^=ti»Jhp.^c^ (n»55i15 min
Posons15 min
Posant ffy = p <fx^ Téquation devient15 min
Cette équation peut s écrire15 min
On trouve, en différent! ant15 min
A) 7»-i-*»-.fl»=o15 min
j» — 4 j:* = o. ( Remarque du n15 min
On obtient une équation qui ne renferme plus de15 min
Les équations données reviennent aux suivantes15 min
On a15 min
XY X Y15 min
Les équations (S) p. 872 deviennent ici15 min
On trouve pour l'intégrale complète15 min
Soit, pour abréger15 min
Le système des équations simultanées donne l'intégrale15 min
x'-'X.Yds15 min
y variant seul, on a15 min
IZ — ^1 » TZ — J15 min
Si) dans le développemenl symbolique15 min
Étant donnée la fonction15 min
Étant donnée l'équation15 min
L'équation15 min
Trouver la somme S de la série15 min
Première polaire du point qui a pour coordonnées15 min
Trouver une courbe telle, que la longueur de l'arc15 min
Trouver une courbe semblable à sa développée15 min
La première relation résulte de l'égalité manifeste15 min
n faut démontrer qu'on ne peut avoir15 min
Si l'on pose a j: = z, Téquation devient15 min
K= ^TT15 min
Supposons que V ne soit pas nulle pour x=^a15 min
L'analogie indique la forme suivante15 min
Posant z^=Uy l'équation devient u = 2X -{- ccu^y15 min
La proposition admise, on en tire15 min
Posons On tire de cette érjuation15 min
On trouve le foUum de Descartes (n15 min
On trouve l'équation15 min
L'équation à laquelle on parvient peut s'écrire15 min
Soient15 min
Soit y le rapport donné; on a15 min
On trouve15 min
On trouve15 min
L'équation de Tellipsoïde étant15 min
do: P \ P ^ Q' ^ R15 min
De l'équation 9{x^y^ z) = o de la surface, on tire15 min
i 4-/?'-h^»)' = o, on tire15 min
Trouver la valeur de Pintégrale15 min
Trouver les formules qui donnent les zéros de15 min
Trouver les fonctions F (a:) telles que, si Ton pose15 min
Trouver une courbe telle que, si l'on projette le15 min
Soit l'expression15 min
Soient15 min
La fonction u, déGnie par l'équation15 min
I, nous aurons Tinlégrale / G dz : l'intégrale le long15 min
ZI15 min
SIC15 min
On sait que l'importante formule de Cauchj15 min
i /• dz15 min
dx15 min
O SI15 min
Rappelons que, lorsqu'une fonction /(z) a [jl zéros15 min
LL = I15 min
Soit fait, pour abréger. -,,- ' = Z (n'' 699 : nous15 min
ip I15 min
La relation (i) donne immédiatement15 min
Considérons léqualion15 min
L'équation proposée renfermant plus de deux va15 min
S0LUT10JN3* 5 I15 min
Pour intégrer les équations15 min
L'équation15 min
Si l'on pose, pour abréger15 min
Coupons la courbe15 min
L'hyperboloïde à une nappe15 min
FORMULES CONCERNANT LES FONCTIONS ELLIPTIQUES15 min
FORMULES CONCERNANT LES FONCTIONS ELLIPTIQUES15 min

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