Les deux sphères ont pour équation

j:J4 j2 ^ z^ — h^^ (ar— a)2-+.(j^ 6)« -h (« — c)» = /^

L'équation d'un plan tangent à la première au point (xi, 7t, Zi) sera

(1) X.r, H- rj, -f sr, =: /j*.

Pour exprimer que ce plan est aussi tangent à la seconde au point (xs,^!, Zf), on a les relations

*2 — O' yi — ^ «2 — c

d'où l'on tire

X, — a y-i — b z, — c k A* — {axx -4- by^ + ^^1 ) .

par suite,

(2) aar, -h ôj'i -4- C3, — A(A±^).

Îi48 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

La question revient i trouver la surface enveloppe d'un plan dont Tëquation est (i), les paramètres arj, ji, Zi devant aatisfaire à Téquation

(3) a:]-hy]-^z]=:A\

et à la relation (2).

Diffërentiant les équations (i), (2), (3) par rapport aux paramètres, il vient

(4) ^^i -^ y^Xi ■+- z(izt = o,

(5) Xictr, -hj'ic//, 4-2,^z,= o,

(6) adxi -h bdjTi -^ cdzi = o.

Ajoutons entre elles ces dernières équations après avoir multiplié la première par 1 et la seconde par fi^ 1 et (i étant deux indéterminées, puis égalons a zéro les multiplicateurs des diilérentielles ^ on trouve ainsi

>jr = par, -f- fl, >j = pj', -f-6, lz = pz, -f-c.

Ces relations, multipliées respectivement par x, j^ z et ajoutées, donneront

Tirant (x de là, on obtient enfin, eu égard à la symétrie des calculs.

x — x, y — Xi z — Zi

ha — [h ± k)x, hh — (/i±A )j, hc — (Adz A-)«, Ces trois rapports ont une valeur commune

et aussi

ax -h bjr -h cz — h[hzàz /)

^(rt» + ^,2 -4- c») — A(/i dz X )■

Il en résulte Téquation

(^a + ji + ai — AS) [a' -f- ô» + c» — (A dz X )»] = [ax-h hy -\' cz^h{h±k)\ ^

qui représente deux cônes, comme on pouvait le prévoir.

336. L'équation du plan normal à la courbe au point (x, 7, z) est 'a suivante :

a:,j>^ et -2 étant liées par les deux relations

Différentîant ces trois équations par rapport à or, JK ^^ ^î il vient

j?^x + ^^ + zdz — 0,

xdx y dy zdz

En faisant usage des indéterminées X et fx comme dans le numéro précédent, on trouve

^ ^ x^ ^ ûf* '

Multiplions respectivement par x, j', z ces dernières équa-

a5o CALG13L DIFFÊHENTIEL.

lions, et ajoutons les résultats, il vient

Xr*H-p=:o, et par suite