Soient

les équations de la sphère et du cylindre^ si Ton pose

jr = rcosô, x = rsïnQ, il viendra

1=/ I zrdrd^= / rrfr£/0(a» — r»)»

503. Observons que rinlersectîon C de la sphère et du cylindre est une courbe qu'on peut concevoir engendrée comme il a été dit au n° 296. L'angle d détermine en efl'et un point m de C auquol correspond un point M de Tintersection, et, si Ton désigne l'angle Mom par 9, on trouve, en vertu de Téquation de la courbe, (p = nO,

Cela ])osé, en considérant seulement la demi-sphère située dans la région des z positifs, le volume V, limité par le plan ZOX, le plan ZO/w et la surface cylindrique, a pour expression

Le premier terme -^ mesure la portion de la demi-

sphère comprise entre les mêmes plans que le volume V; le second, qui a pour valeur

-—— Q sm' - — sm* - -

est donc l'excès de cette pyramide sphérique sur V. Pour

On peut trouver directement l'excès E, sans recourir aux

intégrales doubles, en considérant le segment sphérîque dont une base est celle de la demi -sphère, et Tautre un petit cercle qui passe en M. La hauteur du segment étant a sinf , son volume sera, d'après la formule connue.

I(i-f-COS»y),

et la diiïérentielle de la portion de ce volume comprise entre les plans ZOX et ZO/n est, à un infiniment petit près de sa valeur,

aHmff ( -. j r/9.

En en retranchant lecylindre infinitésimal qui a pourvolume

i'V/0 a* a sinO = — sino cos'«></9.