L'hyperboloïde à une nappe

/pS yi z^ __

peut être représenté par l'ensemble des deux équations

ou encore

1 — = 005 cp sincp,

Ci C ,

,- = smcp H — COS9, b ^ c *

sin({;

- sin«V,

- cosiy.

Ces équations (i) et (2), qui n'en forment en réalité que trois distinctes, représentent des génératrices passant Tune au pointer = acos<j), yz=b sin^f^ z = o,et l'autre au point X = acos^j y = bsin^f z = o\ elles sont d'ailleurs de

Fbenet. — Recueil, 3^

53o APPENDICE.

systèmes différents. Parleur rencontre elles déterminent un point (a?, jk, z) dont les coordonnées s'expriment en o et ^ par les formules

sin(®-4-y) 2

a? = CL —, ^-*^ r^-^ = Cl )

smo H- sind; cp — d» ^ ^ cos -i ^

COS 9 -h cos <L 9 — d» * ^ ces i-

iir» J L

sin9 — sind»

sin

cos4/-hcos9 cp — ^ ^ ^ cos -S ^

Or, si Ton observe que Ton doit avoir, en appelant s Tare de courbe tracé sur l'hyperboloïde,

ou

cette équation représentera, à l'aide des coordonnées cp, 4, l'équation des lignes de courbure; en remplaçant dans cette équation les dérivées partielles par leurs valeurs, on trouve

formule où

L'équation des lignes de courbure est donc l'équation d'Iîuler, ou sous forme finie

cos (A = cos cp cos <j/ ±: sin «p sin ^ ^i — A:* sin^ p..

SOLUTIOKS. 53 1

En remplaçant dans cette équation sin^p, cos<p, sintj;, costj» par leurs valeurs tirées des équations (i), on trouve, pour la projection des lignes de courbure sur le plan des xy^

Au fond, comme on connaît les équations des lignes de courbure des quadriques, l'analyse que nous venons de développer est une nouvelle méthode d'intégration de l'équalion d'Euler.