Coupons la courbe
par la parabole
qui la rencontre en trois points variables avec a et ^ dant
nous appellerons les coordonnées (^|,j^4)(^,,j^2)j(^3>y8) et au point fixe a? = o, y = 1 . La fonction ^ du numéro précédent étant icijK^ — (i — ^^){^ — k^x*^)^ on acp2=2y, et le théorème d'Abel donnera
dx^ dxm dx*
ou
dx\ dx\
^/{x-x\)(x-k^x\) slv-x\){i-l<^x\)
dx% "^ ^(i-a;î)(i-^T^) """'
or X\^ X2, Xz sont les racines de l'équation
(1 — x^) (i — k^x^) = (i -h Pa? -H oLx^y, dont on a supprimé la racine ^ = o, soit
ar8(^2 a2) — îa^a?* — (i-h A:*H- 2aH- P«)a? — 14^ = 0.
On en conclut
2aS a?i -4- a^j -f- 373 = ^j ^j,
et par suite
:r.rr«a7»
On a, d'autre part,
d'où l'on tire
et, en remplaçant a par sa valeur (3),
Cette formule est une conséquence de (2); or, si l'on pose Xi = sna, X2=^ snô, ^3= snc, (2) devient
da -i- db -f- de = o ou
G désignant une constante. Mais (4) donne
sn^a — sn*^
SnC = F -, TT>
sno sn a — sna sn 0
et snc s'annulant pour a= — b,c s'annule aussi, et l'on a C= o et c = — (a + 6); de là résulte la relation
sTï'b — sn*a
sn ( a -h 0 ) = — i — 7 TT '
et Ton retrouve la formule connue en multipliant le second membre haut et bas par sn6 sn'a + sna sn'è et observant que sn'a = cna dn a.
724. Pour trouver l'aire d'une courbe du troisième deffré, nous montrerons d'abord que les coordonnées x,y d'un point quelconque peuvent s'exprimer au moyen des transcendantes elliptiques. A cet effet, plaçons l'origine des coordonnées sur la courbe ; son équation prendra la
528 appe:ndice.
forme
Çs> ?2> ?i désignant des polynômes homogènes de degrés 3, a, I, en sorte que, si l'on pose
Féqualion précédente pourra s'écrire
t];,, Aa, ^i désignant des polynômes entiers en t de degrés 3, a, i; on en conclura
Ainsi on peut exprimer x rationnellement en fonction de /
et d'un radical y/T, où T est du quatrième degré en t, par suite y -=: tx est de la même forme.
Pour introduire les fonctions elliptiques dans l'expression de X et de j^, nous poserons
puis nous ferons la substitution
S désignant une nouvelle variable et X, [x, V, ja' des constantes; ^4, ^2f 4*3 ^^ changeront en des fonctions rationnelles de s, et l'on aura
= >^/ ^ ,,^ (A5*-f-B53+G52 4-D5 4-E), (X'5-4- {jl')* ^ ^'
A, B, C, D, E désignant de nouvelles constantes ; on sait que
l'on peut choisir X, [Ji, V, jx' de manière à faire évanouir B et D, en sorte que Ton pourra poser
y {s) et g{s) étant des fonctions rationnelles et />, q des constantes, y sera de la même forme et contiendra le même radical; il ne diffère de x que par un facteur rationnel. En posant alors, suivant les cas, ps ou qs égal à
l'une des fonctions snw, cnw, dnw, tna, 3 — i 3 — ou à
leurs inverses (p. 467), on aura x et y sous forme rationnelle en sn;/, cni/, ànu,
La différentielle j^rf^r de Paire de la courbe pourra donc s'intégrer au moyen des fonctions elliptiques.
