Appliquer à la courbe représentée par les équations

( I ) x' rrr 3/>'/, 2XZ= p*

les formules fondamentales de la théorie des courbes gauches (p. igsi et ipS).

293. Trouver le plan normal, le plan osculateur et les deux rayons de courbure de la courbe d'intersection de deux cylindres droits dont les axes se coupent rectangulai rement.

29^' Résoudre les mêmes questions que dans le numéro précédent pour la courbe représentée par les équations

r' = 3J-, X' -h jz = 3px*

295. Résoudre les mêmes questions que dans le n" 293 pour le lieu des points d'une sphère tels que la somme de leurs distances à deux points fixes pris sur la sphère soit une quantité constante. (Ellipse sphérique.)

296- Sur une demi-sphère dont le cercle de base est dans le plan XY et dont le centre O est l'origine des axes, un point M décrit une courbe C telle que l'angle (f du rayon OM = R avec le plan XY est dans un rapport constant n avec l'angle 6 des plans ZOM et ZOX : trouver le pian normal, le plan osculateur et les deux courbures du lieu ainsi obtenu.

297. Soient m un point quelconque d'une courbe tracée sur une surface de révolution, r le rayon du parallèle passant en m, et 9 l'angle de la courbe avec le plan du méridien correspondant 5 si le plan osculateur de la courbe est normal à la surface en chaque point, le produit rsincf est constant.

298. Etant donnée une courbe qui rencontre toutes les génératrices d'une surface réglée, et telle que les cosinus directeurs de chaque génératrice, au point où elle coupe la

courbe, soient des fonctions des coordonnées de ce point, on demande :

I® La direction limite de la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines ^

2° La limite vers laquelle tend le*rapport -7 â étant la

plus courte distance et u Tangle de ces génératrices^

3° La position, sur Tune des génératrices, du point limite [point central) où elle est coupée par sa plus courte distance à Tautre.

299. La génératrice D d*une surface réglée est donnée par les équations

(D) x=imz-\-py jrz=znz-^q^

dans lesquelles m, w, p sont des fonctions d'une variable t\ on dejnande les coordonnées du point central situé sur cette génératrice.

300. Appliquer le résultat du numéro précédent à la recherche du lieu des points centraux [ligne de striction) du paraboloïde hyperbolique donné par l'équation

301. Trouver la ligne de striction de Thyperboloïde à une nappe représenté par 1 équation

302. Les données étant celles du n® 298, si d est une quantité infiniment petite par rapport à s^^ elle est au moins du troisième ordre infinitésimal. (Bouquet. )

303. Dans les surfaces pour lesquelles 5 est un infiniment petit d*ordre supérieur à p», le plan tangent en un point est tangent tout le long de la génératrice qui passe par ce point. (Surfaces développables, )

4a CALCUL DIFFÉRENTIEL.

30i. Toute surface développable (n** 303) peut être regardée comme le lieu des tangentes à une courbe à double courbure, et réciproquement.

305. Les plans tangents d'une surface développable sont en même temps les plans osculateurs de son arête de rebroussement (n^ 304).

306* La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface réglée soit développable (n° 303) peut être remplacée par les relations

dl dm dn

a — / cos 0 b — m cos Ô c — n ces Ô

0 désignant Tangle de la génératrice avec la courbe directrice (n^ 298,.

307. Par chaque point d'une courbe à double courbure on mène une perpendiculaire à la tangente en ce point; condition nécessaire et suffisante pour que la surface réglée ainsi obtenue soit développable.

308. Par chaque point d'une courbe A on mène une perpendiculaire à la tangente, de manière à former une surface développable. On demande de déterminer, en un point Mi de l'arête de rebroussement Ai répondant au point M de la courbe donnée :

1° Les deux courbures de la ligne Ai; 7? L'élément de l'arc de cette courbe.

• (La courbe Ai est une des dévfeloppées de la courbe A.)

309. Des relations du n° 306 déduire l'équation générale des lignes de courbure.

310. Si l'intersection AB de deux surfaces S et Si est une ligne de courbure de chacune d'elles, ces surfaces se coupent partout sous le même angle; et réciproquement, si deux surfaces se coupent partout sous le même angle, et si Tin-

tersectîon est une ligne de courbure de Tune d'elles, elle sera aussi une ligne de courbure de l'autre.

311 . Trouver le lieu des projections du centre de l'ellipsoïde sur ses plans tangents {o? 235 J.

312. Mener un plan tangent à la surface représentée par Jéquation

et trouver Tinterscction de ce plan avec la surface.