Diaprés le théorème des fonctions homogènes, on a

mu = j:,i/, -f- .ijWj -I- x^tt,,

Soit H le premier membre de l'équation (i). Si Ton multiplie respectivement par Xi, a:,, Xi les colonnes de ce déterminant symétrique et qu'on remplace chaque terme

SOLUTIONS. g5

de la dernière par la somme de ceux qui appartiennent à la même ligne que ce terme, on trouve, en vertu des équations (2),

«ai «« Wi i'ii «s» «»

Opérant sur les lignes du nouveau déterminant comme on vient de le faire sur les colonnes du premier, il vient

«Il «n «1

«ai «aa «a

(m — I ) a, ( /?i — I ) //, mu

d où résulte la relation (i).

Il est évident qu'on obtiendrait une relation analogue en procédant de la même manière, si le déterminant H était formé avec les dérivées secondes d'une fonction homogène u d'un nombre quelconque de variables indépendantes.

Ce déterminant, utile dans plusieurs questions d'Algèbre et de Géométrie, est dit le déterminant de Hesse ou le hessien de la fonction m, du nom du géomètre qui en a fait le premier de remarquables applications. (Consulter, à ce sujet, le Journal de Crelle, t. XXVIII et XXXVIII. Foii aussi Sylvester, Journal mathématique de Cambridge et Dublin, t. VI.)

di' âf dz

ô.rôjr

= (i -f- ZxYZ 4- x^y^z'^](f^*.

l5xjr

du:' à/'

dx^dj

I — 5f.r'H-.r') — 6(.r< -f-y) H- Sl.r'j*

gQ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

— jz(fl> — x')=.

En représentant par ç le second membre, on a

par suite,

^ "^ ' ^ ^ drdxdz dz

et enfin

- - -t ^'tt J-dtt

^ ^ ^ -^ \^ ^ Orôjdz ^ ' àz

Le premier membre de cette équation ne changeant pas quand on y remplace x par j^, y par z et z par or, il en résulte la démonstration demandée.

On peut observer en outre que, si Ton pose

x=z'asïx\a, ^ = «sinp, z = asinY, Téquation (i) devient

u •= a*sin(a -4-3 4- 7)»

d'où

'du\ fdu

/àu\ / d*u \

\dz ) \dxdyôz)

(^\ (^\ (^\ (^\[îl\(^\

\ôx) \dr) \âz) \à^)\ôx)\dz)

ce qui n'est autre chose que la relation (2). 104. Soit

SOLUTIONS. gy

différentiant cette équation successivement par rapport à a et à 6, en y considérant a: et j^ comme fonctions de ces variables, il vient

df , ^df , ^ àf df .

ou, ce qui est la même chose,

La relation qui lie 6 avec x ^\y donne de même

Si Ton pose

= êi xi -f- Sy ji, I = e; .ré 4- €] ré*

*x^y ~- oCy 6j — Ay

on tire des équations ("i) et (3)

Arl=-$

d'où résulte la relation (i).

Cette relation peut s'écrire

ik\

ji Je

et ron reconnaît immédiatement sous cette forme, en effectuant le produit des déterminants par la règle connue, quelle n'est autre chose qu'une identité. Ce produit est égal, en effet, au déterminant

s;, x^ H- ty y« 61- x'z + 6^ Je

dont la valeur est i, à cause des équations (a) et (3).

La proposition exprimée par la relation (4) subsiste pour un nombre quelconque de fonctions a, 6, . . . , w d'un

Frenet. - - Recueil, 7

gS CALCUL DIFFÉHBNTIEL.

même nombre de variables indépendantes x^ y^ ..., i. On le vérifie absolument, comme on vient de le faire, en s'appuyant sur les résultats obtenus lorsqu'on différeniie, par rapport à toutes les fonctions a, 6, . . . , cd, les relations explicites qui expriment la valeur de cbacune de ces fonctions au moyen des variables indépendantes. On a vu qu .1 n'est pas nécessaire de connaître ces relations; il suffit de savoir qu'elles existent.

Ce qui précède conduit à envisager des expiessions de la forme

Cette expression J est diiale détef minant fonctionnel des n fonctions a, 6, . . . , w de w vaiiables indépendantes. La considération en est utile dans un grand nombre de questions. On la nomme aussi le déterminant de Jacobi ou le jacobien des fonctions indiquées, du nom de l'illustre géoiiièlre qui en a donné le premier les propriétés et fait connaitre toute l'importance [Z)e determinantibus fanetionalibus [^[Journal de Crelle, t. XXII).

§ V. — Dijfcrentiation des fonctions implicites.

(a -}- j) [ax ^ bf-h xj) ■

b-[-x){ax -^ by -h

- X^) 4- 2Xjr

\ — lo^o:

I loj-r

dy er dx 2 — X

dx 2sin2/ — sin/ — .r cos/

sin'y sin/ sin 27 -4- cos j — i

</y I — 2jsinj4-7>

dx I — COS j — y siny