I smlorH ^- -7rj j(V) -f

-f- (2/2 4- i) sin ( a: -h - j jt*») -4- sinar/C^^+O

=:a:cos (a: H tt ) -h (2/2 4- l)cos(a: 4- /2 7r),

d*où Uon tire, en faisant x = o.

13P. Si l'on pose

y -=z X CQtXy z = X

^"-hi

la question revient à démontrer que Ton a

On déterminera les coefficients relatifs au développement de la fonction paire désignée par z^ en dilîérentiant 2« -f- 1 fois les deux membres de l'équation

(c* — ^-')z = .r(e' 4- tf-'),

ce qui donne

= a:(^~^-')-+- (2/2 -f- i)(^4-tf-*),

V^ -h (— I JA» ^'] zCp) -f- . . . 4- (e* - e-')2f "+'^

et d*où Ton tire, pour x = o,

27? ) \dx^é'l „

En rapprochant ce résultat de celui du numéro précé-

dent, on en conclut Ja relation (i), ce qui démontre la proposition énoncée.

On aurait pu la déduire aussi de l'égalité

XCOtX=i IX

Les nombres B^, sont appelés nombres de Bernoulli, du nom de Jacques BernouUi qui les a le premier introduits dans r^nalyse (^rs conjectandi) , Euler s'en est occupé souvent-, il a montré que ces nombres jouent un grand rôle dans plusieurs questions, notamment dans la sommation des séries. Les dix-sept premiers ont été calculés par lui, d'après une formule qui permet d'obtenir l'un d'eux quand on connaît tous ceux qui le précèdent ( Calcul différentiel, IP Partie). Laplace a donné l'expression générale de chacun de ces nombres indépendamment des autres (Lacroix, t. III) .

Voici les valeurs des neuf premiers nombres de BemouUi :

o 3o 42 3o DO

2700 D OIO 790

140. Les formules du n? 22 fournissent les suivantes : log(siû»ar) = log(a;2)H-log (>— ^J M" ■ • •

log(cos'a:) = logM I— ^ j +...

et

d'où Ton tire par la différentiatioa

I 7.x IX 2j: cot jc = ;: : — 7—; : — ... r"7 1; — • • • j