h T — I — = I , équation de rdlipsoïde

Ix -h my H- Tîz = o, équation du plan.

En opérant comme dans le numéro précédent, Téquation qui détermine les axes est la suivante :

Après avoir ordonné par rapport à r, on trouve que le produit des demi-axes de Tellipse d'intersection est

abc

et, par suite, la surface a pour expression

nabc

226. Le volume demandé est égal au produit des trois demi-axes principaux par -^5 et comme ces demi-axes sont

CALCUL DIFFIÊRENTIEL*

les valeurs maximum et minimum du rayon vecteur r mené par le centre, il suffira de chercher les maxima et minima de la quantité

le point x^y^ z appartenant à Tellipsoïde. On trouve alors, en désignant par X une indéterminée,

d'où

Xx-^- ax ->t- b'z 4- b"y = o, >j -f- ay -^ bz -h b"x = o, \z -f- fl"z '\'by -k- b'x = o,

par suite

b"x^ I i — a' jj -f. 63 = 0, b'x -4- ^J — ( — — a" ) z = o.

L'élimination de o:, j^, z entre ces équations conduit à annuler le déterminant

ce qui donne

Développant et ordonnant par rapport à r', l'équation à laquelle on arrive fournit les carrés des demi-axes principaux de la surface. Le produit de ces carrés n'est autre que le dernier terme changé de signe, c'est-à-dire le quotient de c' par le déterminant du système des équations (i) dans lesquelles on suppose X égal à zéro. On conclut de là que le volume demandé a pour expression

227, {Fig* 1 !•) En désignant par a et 6 les coordonnées

TÎQ. II.

du centre de l'ellipse cherchée, l'équation de cette courbe peut s'écrire

A{jc — a)» -f- 2B(^ — a) (7 — 6) -h C(^ — 6)M~ I = o.

Posons CA = p, CB = ^, et exprimons que la courbe passe par les points C, A, B; il en résulte les trois équations

(i) Aa' -t- aBaê -^- Cô^ -4- i = o,

(2) A(/7 — a)* — 2.B(p — a)6 + Cê^ -f- 1 = o,

(3) C(<7 — 6)»— 2B(7--6)a-f-Aa2-f-i = o.

Frenet — Recueil, ^^

l46 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Retranchant successivement Téquation (i) des équations (a) et (3), il vient

(5) C(26 — ^) -4~2Ba=o.

Les relations (i), (4), (5i donnent enfin, pour les coefficients A, B, C,

__ — (26--<7) (aa— /?)(26 — <y)

A — — -. — ^^ t U rzr — — 9

a(/?5-+-<7a — pq) 7.a.^[p^ -h qct. — pq)

Pour obtenir l'expression S de la surface de l'ellipse en fonction de ces quantités, cherchons, en suivant la marche du numéro précédent, l'équation qui a pour racines les demi-axes de la courbe. Cette équation étant

(AC — B^)3* -f- (A -f- C — 2B cosô)z' -h siii^O = o,

le carré du produit des demi-axes est donc

sin»9 AC — B»-

et par suite,

TT sin Ô S= -•