La tangente a pour équation
et les segments qu'elle détermine sur les axes à partir de
rorîgine étant (a'ar)% («*/)% la somme de leurs carrés est égale à la constante a*.
La courbe est nommée astroïde par quelques auteurs.
l5o CALCUL DIFFèRENTlEL.
233* Les abscisses des points de rencontre étant o, a -f- /n, a — m, il en résulte, pour les équations des tangentes corres])ondantes,
y z=. m['dm -\- ia)x — 2iw(/n -f- o)', jr=.m[Zm — 2a)r-4- 2m[m — a)*.
Le point où la tangente à une courbe du troisième degré coupe la courbe est dit le point tangentiel du point de contact. Le premier de ces points que Ton considère ici a donc pour coordonnées
L'abscisse du second satisfait à l'équation suivante :
(l) /w(3/71-+-2/i)j: — 2/w(/nH-«)*=.r(4: — a)';
mais il n'est pas nécessaire, pour l'obtenir, de résoudre cette équation. On sait, en efî'et, que Tabscisse a + m du point de contact est racine double de (i), et, comme le produit des racines est — 2m(a-f-m)', en le divisant par (ci-j-Tw)*, on a Tabscisse cherchée. On trouve ainsi pour le deuxième point, et semblablement pour le troisième, les coordonnées
X^= — 2/72, y=z — 2/»(2/ll -h a)% X =:= 2/71, J^= 2/72(2/72 — a)'.
On reconnaît immédiatement que ces trois points sont situés sur la droite
C'est là une vérification d'un théorème général démontré par Maclaurin, et qu'on peut éroncer ainsi : Quand trois points d'une courbe du troisième degré sont en ligne droite, il en est de même de leurs points tangentiels.
234. [Fig- i3.) Quand le cercle dont le centre esl O et dont le rayon est 0B= i roule sans glisser sur la droite AX donnée de position, la courbe engendrée par un point M
Fig. i3.
de la circonférence est une cycloïde. Si Ton considère la ligne que décrit en même temps un point M' situé sur le rayon variable OM, on la nomme cycloïde allongée ou cycloïde accourcie, selon que le point décrivant est intérieur ou extérieur au cercle mobile.
Pour obtenir l'équation du lieu des positions de M', soient h la distance de ce point au centre du cercle, AX Taxe des x, A l'origine des axes et aussi le sommet de la cycloïde engendrée par le point M ^ si B désigne le point de contact de la circonférence avec Taxe des x pour une position donnée du point M', et (j> Tangle variable M'OB, il vient
h sin f , h ces f .
Le système de ces deux équations représente une cycloïde allongée ou accourcie, selon qu'on a h<^b ou h^b. On
en tire
x-=.h arc cos — 7 y/A* — (6 — yf.
Si la droite fixe est remplacée par un cercle, le point M engendre une épicycloïde, le point M' une épicycloïde
CALCUL DIFFÊREWTIEL.
allongée, le point M'' une épicycloïde accourcie. Dans le cas où le cercle mobile est intérieur au cercle fixe, les lieux des points M, M', M'' sont des hjpocjrcloïdes.
Pour trouver Téquation de Tune de ces courbes, par exemple celle du lieu que décrit le point M (fig. i4) posons CB = a, OB=J, OiM = A. CN = x, MN=jr
Fig. 14.
ACB = ï -, si Ton admet qu'à l'origine du mouvement les points A et Q étaient confondus, on aura
QOB=-f
x = CB + HN = (a -h b)cose — ^cos — 7 — e
\ X = OR — OKz=(a-hb) sint —
h sm — ; — t .
Le système (B) représente une épicycloïde allongée ou ac« courcie, selon qu'on a h<^b ou h^ b. Il tient lieu d'une équation unique qui résulterait de l'élimination de ^, et qui serait, en général, moins commode pour les calculs, surtout si le nombre — - — = n était irrationnel. On peut
SOLUTIONS. l53
d'ailleurs, dans tous les cas, obtenir cette équation. Ou déduit en effet des équations (B)
bn ces t ^zx-\- h cosni , bn sine = j -f- A sin w f , h cos/z t •=. bn ces t — ar , h sin/i t z= brisint — y; d'où Ton tire
^>*/î* = j:*-h^*-h h}-\- 7,h[xcosnt -h jsin/ï/), /«* = j7» -h ^* + b^n} — ibn{xcost -hjsin/),
ou bien
xcosnt -h^sin/ï/ = —^ =/*>
x cos/ -4- / sm r = 7 = q ;
et par suite, en remplaçant les fonctions trîgonométriques par leurs formes imaginaires,
(x — ijr) tf^""** — 2/?^*' -f- (:r -+- ijr ) = 0 , (x — /j)^" — 2^e" -4- (j? -f- 'jr) = o.
On conclut de là
x — iy X — z^-
par conséquent,
[^ ±(7^- :r«~7«fl"= (or — /»""' \p ± (i?^ - ^^-r')'J »
ce qui est Téquation cberchée, en y supposant p et 9 remplacés par leurs valeurs connues en x et en J, et qui ne peut être rendue rationnelle qu'autant que le nombre n est. lui-même rationnel.
l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On voit facilement que le système (6) se met aussi sous la forme, quelquefois utile,
L'iiypocycloïde allongée ou accourcie est représentée par le système
x=: (a — 6) ces/ -4- Acos — - — /,
r = (« — 6) sin^ — ^ sin — - — t y ' a
tout à fait analogue au système (B],'et qui s'en déduit en remplaçant dans celui-ci b par — i et A par — h. H. suffit donc de considérer les équations (B) pour embrasser tous les cas.
En faisant h = b^ on obtient les équations suivantes pour représenter les épicyclpïdes et les hypocycloïdes ;
x = (a -h o)cosi — bcos — j- — / , jr=z[a -h o)cost — o sin — - — t.
La détermination de la tangente.au point xy de la courbe
■ • dx
déGnie par les équations (B) exige la connaissance de -r-
Or on a
iir a -h b
( 6 sm r — h sm — - — f j ,
(i. il a-^b \
I b ces t — h ces — - — / J ;
dt b
dt" b
d*où
a-^ b b CCS t — h cos — ; — / dx b
dx a 4- ft
6 sin f — A sm — : — /
SOLUTIONS. l55
Ce résultat, qui suffit à la détermination analytique de la tangente, ne met pas en évidence une construction géométrique simple •, mais, si Ton cherche Téquation de la normale, on trouve
Y — (a + ô) sin / -f- ^ sin — - — / ( 6 cos / — Acos — 7— t j = X — (a -4- 6) cosf -♦- ^ cos — 7 — ; 1 6 sin r — ^ sîn — - — t ) ,
et Ton voit manifestement, sous cette forme, qu'en faisant Y=asinf et X==acosl Téquation est satisfaite. Or le point dont les coordonnées sont a sint et a cos t n'est autre que le point de contact du cercle mobile et du cercle fixe, d'où résulte une construction immédiate de la normale'tout à fait semblable à celle que l'on connaît pour la cycloïde. 11 est évident que cette construction s'applique également aux courbes (A). Elle est d'ailleurs susceptible d'une grande généralisation (n° 24.4.).
La théorie des épicycloïdes est née d'un problème industriel. C'est en cherchant la meilleure forme à donner aux dents d'un engrenage que l'astronome danois Rômer y fut conduit en 1674. Plus tard (1694), de la Hire publia sur ces courbes un travail étendu, et plusieurs autres géomètres, notamment Halley (Transact. phil.)^ Newton (Princip.) et Euler [Introd. in ^nal. infinit.) ^ en ont étudié les propriétés.
Descartes s'est occupé le premier des cycloïdes allongées et des cycloïdes accourcies^ il en a déterminé les tangentes.
Parmi les courbes représentées par les équations (B), on remarque certains cas particuliers :
1° /i = è = — y. Au moyen des relations connues cos3^ = 4cos'^ — 3cosf , sin3/ = 3sin^ — ^^ïn^t^
l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
les équations (B) se réduisent à
x=ia cos' / , y = a sin' / ; d'où
x^ +jy' = «•,
et en développant,
Cette courbe se rencontre dans plusieurs questions (n® 232). a® i = • On trouve une ellipse dont Téquation est
3° b = h = a. On a, dans cette hypothèse, X — a = 2acost{i — cos/), ^ = 2asin/(i — cost).
Prenant des coordonnées polaires définies par les équations
X — a = r CCS 0 , x = rsindi
il vient immédiatement pour Téquation de la courbe
r = 2a(i — cosô).
C'est une des caustiques du cercle, le point lumineux étant sur la circonférence. On l'obtient aussi en projetant sur toutes les tangentes au cercle de rayon 2 a un point donné de la circonférence (n°235). A cause de sa forme, cette courbe a élé nommée cardioïdc [Transact, phiL, 174 0*
40 b = h= -" Les équations (B) deviennent ici
^=:2asin^/, x= 3a cost — 2 a ces' ^. On en tire
y»-4- 0:*= 4^^ — 3fl^cos'/ = a» -+- 3a^sm^ty
SOLUTIONS. i5y
et par suite
5** h=ib = • Le lieu est un diamètre du cercle fixe,
résultat facile à voir par la Géométrie.
235. Soit A Torigine des axes. Si Ton désigne par x el y les coordonnées du point m, par a et S celles du point |ca,
et par C le milieu de m Â, on a évidemment
a*+ 6^ — KX — 6j = G,
Les droites Afx et mix étant perpendiculaires, l'exprèssien adx -+- ëdy est nulle, et il en résulte
dî X — 2 a
doL y — 2 ê
ce qui démontre la proposition.
Un théorème analogue existe pouf les surfaces podaires,
236. Les coordonnées d'un point a, S de la podairc correspondant au point x^ y de la courbe satisfont aux équations
Éliminant x e\j entre les équations (i) et (2), il vient
(aa)"-« -f- [h^f^'= (a' -h 6»)'^.
Cette équation résout la question des podaires pour Tellipse, riiyperbole, les développées de ces courbes, Tastroïde (n*»232), etc.
237. {Fig. i5.) Soient AB, BC, CD trois côtés consécutifs du polynôme minimum, et prenons pour origine le point E, où se rencontrent AB et CD j la tangente BC doit
être telle que le triangle ECB soit maximum. Déterminons
Fig. i5.
le point de contact M par cette condition. On a
dy dx
dx dy
et
,CBE = -(r-x|)'|sinE.
Pour le maximum on trouve, en différentiant,
rf'r dx I dy\ I dx \
et, en égalant à zéro le dernier facteur du premier membre de cette équation, il vient
I /' dx\ I
2\ -^ dy) 2
ce qui montre que le côté CB est partagé en deux parties égales par le point de contact. La même chose a donc lieu par tous les côtés du polygone cherché .
238. Soient n le nombre des points mj, tw,, /n,,...*, x^^ jp les coordonnées de m^^ Ç, yj celles du point jutj on a
^[(Ç -»- •^/')'-+- (^ -t-r^)'] = const.*
SOLUTIONS. iSg
et en difTérentiant, toutes les quantités variables pouvant être considérées comme fonctions de Tune d'entre elles,
.Or
puisque chaque normale passe par le point (ix. On peut donc écrire Téquation (i) sous la forme
ou
c'est-à-dire que la normale au lieu des points fx passe par le point qui a pour coordonnées — - 5
^^P ^Xp
ri n
239. L'origine étant au point A et la direction de la corde étant prise pour celle de l'axe des x, il faut chercher le maximum de l'expression
Si Ton égale à zéro la différentielle de cette quantité, dans laquelle y est une fonction donnée de a:, il vient
dy dr
Soit N le point où la normale en M rencontre la corde AB^ 1 équation (i) revient à
AN BN
AM BM
c est-à-dîre que la tangente au point M est également inclinée sur AM et sur BM.
l6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Solution géométrique. — La position du point M étant supposée connue, soit M' un point infiniment voisin. L'accroissement de la distance AM est égal à MM' cos MM'Â; la diminution de MB est MM' cos BMM'; d'où résulte, pour l'accroissement infiniment petit de la somme AM + MB^ la quantité MM'(cosMM'A— cosBMM'). Or, en vertu de la théorie du maximum des fonctions d'une variable, cet accroissement doit être un infiniment petit d'ordre supérieur au premier; on a donc
liin( cos MM'A — cosBMM') = o, ce qui donne le résultat déjà obtenu.
