Soient

j^=/{-^)» jr=M^)7 r=A{^)

les équations des trois courbes; x, y^ Xi, ^i, Xi, ^t les coordonnées des points /n, m^j m^ pris sur ces courbes et formant le triangle mmim^^ dont la surface A s'exprime par la formule

(i) A = iiz-[x(^,— jr,)-t-x,(^2 — ^)4-^2(r— ri)]-

Comme A dépend de trois variables indépendantes x, Xi, Xj, la condition du maximum donne les trois équations

Ces résultats expriment que la normale en chaque sommet est perpendiculaire à la droite qui joint les deux autres j les

SOLUTIONS. l6l

normales aux courbes données se rencontrent donc en un même point.

Dans le cas particulier énoncé, — -|- —• = i étant Téqua-

tion de Tellipse, on a

Comme la dernière équation résulte des deux premières^ le problème n'est pas déterminé. Pour le déterminer, concevons que le point m soit donné et rapportons la courbe à deux diamètres conjugués. L'équation de Tellipse peut

s'écrire

le point m étant l'extrémité du demi-diamètre a^ . On trouve

alors

Xy — j:, = 0, ^,(xj — ax) -f- sj a\ — x\ sj a\ — xj = o, d'où

«, = ar, = , ^2 = ± — ^--» j, = ±1

D faut évidemment prendre y^ et j^i de signes contraires. D'ailleurs, à cause de l'obliquité des axes coordonnés, la surface est égale au second membre de l'équation (i) multiplié par sind, 9 étant l'angle des axes. L'aire maximum du triangle a donc pour expression

V^ , . . sii^ab —7-^ ûi o, sm 0 = 7 — ■ •

Frenet. — Recueil, 1 1