L'équatîon de Tellipse étant

la normale au point x^ y Sl pour équation

et si l'on désigne par x^ , j^ les coordonnées du point où cette ligne rencontre obliquement la courbe, l'expression dont on cherche le maximum ou le minimum est

(i) [x, — j:)'-h [y,—yy = l\'

avec les conditions

(3) <)'-+- b\T^ = an\

Des relations (3) et (4) on déduit celle-ci :

Les équations (i) et (a) donnent d'ailleurs

En portant ces valeurs dans (5), on en tire

Si l'on égale à zéro la difTérentielle de ce résultat, on trouve les deux solutions

(7) ^ = =i=^4/^!ZLii%

SOLUTIONS. l63

La demîère, combinée avec réquation (3), donne

Les relations (y) et (8) définissent quatre points symétriquement situés par rapport aux axes et répondant à des loni;ueurs minima, pourvu toutefois qu'on ait a? — si'^ o. En effet, les extrémités du grand axe répondent évidemment à des maxima, et Ton ne peut passer de Tun à Tautre sans rencontrer au moins un minimum \ la symétrie de la courbe en doit d'ailleurs fournir au moins deux de chaque côté du grand axe. Il suit de là que la solution x = o correspond à un maximum.

Les résultats changent si Ton a a* — 2 i* <^ o ^ les quatre lainima n'existent plus, et la solution j: = o répond alors à un minimum. On s'assure facilement de cette dernière circonstance en mettant /' sous la forme

Si l'on développe le second membre, en supposant x aussi petit qu'on veut, on trouve

ce qui démontre que l'extrémité du petit axe répond à un maximum quand on a ih^- — iï* <^ o, et à un minimum dans le cas contraire.

La règle ordinaire pour la recherche des maxima et des minima de f{^x) n'a pas donné les solutions maxima répondant aux extrémités du grand axe. Cela tient à ce que, dans la question présente, on ne peut comparer à/(a) les deux expressions /*(« H- A) , y(a — /i), h étant

l6^ ' CALCUL DIFFÉllENTIEL.

un infiniment petit positif, vu qu'il n y a pas de points de Tellipse dont Tabscisse surpasse a.

Remarque. — Si Ton cberche les valeurs de x^^ Ji dans l'hypothèse a" — ai* > o, on trouve

et ces coordonnées satisfont à Téquation de la développée de

Tellipse

iaxf^[byy=c\

(O. Bonnet.)

242. Il suffit de considérer les points de la courbe donnée pour lesquels nB n'excède pas -• Soient r et 0 les coordonnées d'un point m pris sur cette courbe \ r^ et 6i celles du point correspondant de la podaire; 9 l'angle que la tangente en m fait avec le rayon vecteur. On a

tani<» = —7— = — cot/zd, ar

Il résulte généralement de là

A étant un entier quelconque. D'ailleurs, en supposant n positif, (f représente un angle obtus, et Ton trouve facilement la relation

flp= - 4-0. — 0.

Il suit de là qu'il faut prendre A = i , ce qui donne et par suite

SOLUTIORS. • l65

cos/i 9 = cos •

D'un aulre côté,

/"i z= 7siny = rcos/zO; d'où

/;•+*= fl^^ COS —^0„

équation de même forme que la proposée. Le résultat n'eut pas été diflérent si l'on avait supposé n négatif.

243. Concevons la courbe rapportée à des axes rectangulaires ox, oj^ dont l'origine soit située, par rapport aux droites A et B, du même côté que le point /n. Si l'on désigne par p la longueur de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur A, par a et 6 les angles de cette perpendiculaire avec l'axe des x et l'axe des y^ la distance de m à A aura pour expression

p — X cosa — y cosS.

Semblablement, la distance de ce point à B peut s'écrire

/>! — X cosai — y cosSf

Les coordonnées des points P et Q étant respectivement a et &, ai et h^^ on a

L'équation de la normale est d'ailleurs

df du dfdv^^dfdu df d^^ du ôx dv ôx du df dv df

et comme on a dans tous les cas

du du . .

^ = — cos(ii, x), — = — C0S(tf,7),

i66 • CALCUL DlFFÉnE>TIEL.

en désignant généralement par (D, Dj) Tangle des directions des droites représentées par D et Di, l'équation de la normale prend alors la forme

-4- cos(«,.r) + ^-^ cos(f', x) -f cos(i/,7) 4- -T- cos((',7) dtt df ou ôv

qui n'est autre chose que l'expression analytique du théorème énoncé.

244. Rapportons la courbe B à des axes rectangulaires. Soient t*mt la tangente commune à A et B; 0*,^^ les coordonnées du point de contact /w^ Ç, yj celles du point fx. La longueur txm=^r et l'angle de sa direction avec une droite quelconque, invariablement liée à A, constituent un système de coordonnées polaires auquel on peut concevoir que sont rapportés les points de cette courbe. Cela posé, de l'équation évidente

on tire par la diflérentiation

r ds r ds \ r ds r dsj ds

ds représentant l'élément de la courbe B. Or l'angle l!m^^ formé par le rayon vecteur juim et kt direction mll^ a pour

dr . • 3 \ ^ ^ — ^ dx Y — yï dy

cosinus—: ce cosinus est aussi égal a r- 4- -*

ds' ^ r ds r ds

L'équation (i) se réduit donc k

X — n dm

ce qui démontre le théorème énoncé.

2!i>5. i^ Les coordonnées x eljr du point de contact m de la tangente représentée par (i) ne sont autres que les valeurs limites des coordonnées du point de rencontre de cette tangente avec la tangente voisine, dont Téquation est

(a-f-Afl)X-f-(ô-hA^)Y-f-c-t-Ac==o; c'est-à-dire qu'on a

bc^ — ch' ca' — ac^

7' y = -zïj

ah'^ba' -^ ab'—ba' 2® L'équation de la tangente au lieu des points m^ étant

coïncidera avec (i) si l'on a

. dy y a dy c

Or, en posant, pour abréger,

k=b(^"^cb\ B:=ea'^ac\ G=ab'^ ba\

on trouve les relations

Aûf-h B^ -f-Cc = o, C.r = A, Cj = B, C»ar' = CA'— AC'= 6(A/ï''+B^''-f-Cc"), Oy = CB' — BC' = — «(Aa'^-I- B^»"+ Ce"),

ce qui vérifie les équations (2).

Quand les fonctions a^ b^ c sont entières, il est facile de trouver le degré de la courbe. Plus généralement, si l'on désigne par A, B, D des fonctions entières de degré n en t^ on voit immédiatement que la courbe définie par le système des équations

l68 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

est du degré /», car, en substituant ces valeurs de jc et de t dans Téquation ax-h by=c d'une droite quelconque, il en résulte une équation du degré n en t dont les racines déterminent les coordonnées de n points (ré^ls ou imaginaires) où la droite rencontre la courbe.

Remarque. — Le système (U) définit des courbes algébriques auxquelles M. Cayley a donné le nom à'unicursaleSy et qui jouissent de propriétés importantes étudiée s par d'éminents géomètres contemporains. M. Hermite, en particulier, leur a consacré, dans son Cours d'analyse, quelques pages très-intéressantes et des plus instructives.

Oïl ramène facilement les coordonnées j: et^ au type (U) quand elles sont données par des fonctions rationnelles d'un nombre quelconque de sînus et de cosinus, pourvu que tous les arcs soient des multiples d'un même arc a, U suffit d'exprimer les lignes trigonométriques en fonction de la

variable t définie par la relation tang - = /.

L'équation ?(^,J^) = ^p(x, /), où f et ^ désignent des fonctions entières homogènes dont les degrés différent d'une unité, représente une courbe unicursale, comme on le voit en y faisant y = tx.

Il en est de même de l'équation

si <f est homogène du degré #w et ;^ homogène du degré m — a. On le reconnaît en posant d'abord y= tx^ puis, pour faire disparaître l'irrationnelle (n® 146),

La courbe gauche représentée par les équations