Fig. 22. ) Asymptotes : a:=-9 j =: —^ ix -{- -A
2* A Torigine, rebroussement de première espèce. Quatre points d'inflexion, dont deux situés sur l'axe des x.
259. La courbe a trois points d'inflexion, l'un à l'origine, les autres aux points dont les coordonnées satisfont aux é:}uations
réels (ce JjTT ^^ . "" "'"' '""'"'' d'inflexion
^^oirceTj/ '' ^7""^ '"""^'•^ '^"W/e en paisse ^O'r), ces points sont en ligne droite.
(^o"Ba,ox, Complément de Géométrie analytique.)
Fi{;. 2i.
aux^nif ^' ^^'^ ^° substituant des coordonnées polaires apport 1 "" '■''''''^"^^' ^'^*ï-'-- -' --l"'le par Changer de coordonnées, en prenant une inconnue auxi- Wet=^^, ce qui donne
= Zt/(rt2f«-H 46' if)'-^
^X = -±L (aU* ^^buy—at'
L'orîgîng est un point triple, un point d'inflexion et un point de lebroussemeut. Les points de la portion fermée do
la courbe qui sont les plus éloignés de l'axe des x et des y ont Respectivement pour coordonnées
L'examen de la dérivée exprimée en fonction de t fait connaître l'existence d'un point d'inflexion sur la branche infinie située à droite de Taxe des j^.
26 !• lia courbe a une infinité de points doubles, pour les-
quels — = di (A^tt)*, k recevant toutes les valeurs entières
positives. Elle a aussi une infinité de points isolés.
262. Lorsque les courbes sont représentées par des équations en coordonnées polaires, on trouve généralement les points d'inflexion en posant [formule (b), p. 178]
dr^
r^ -f- 2 — - — r -— r= o ou = QC
dr
dh
SOLUTIONS. l'J^
n est quelquefois avantageux de remplacer cette condition par celle-ci, qui lui est équivalente :
,. du d^u
(B) -TT -\ ; — =^ O ou =00,
^ ' dB dO^
0^ étant Tinverse du rayon vecteur.
Pour la courbe dont il s'agit ici, la condition indiquée
donne
d'où
Cette courbe, cas particulier des spirales dont Téquation est 7'= aô"^ a été désignée par Cotes sous le nom de Lituus ( Harmonia mcnsuraînun ) .
263. L'équation (A) ou Téquation (B) du numéro précédent devient ici
b CCS* 0 H- 3 û cos'O — 2 « =: o,
j ou, en posant —^ := z.
(i) 2.az^ — Zaz — b = o.
Si Ton a a^è, les trois racines de Téquation (i) sont réelles, mais l'une d'elles ne satisfait pas à la condition — I <^cos0 <^ I.
Si a <^ è, deux racines sont imaginaires. Il en résulte que la conclioïde a quatre points d'inflexion quand a est plus grand que J, et deux seulement quand a est plus petit que h.
D y a également deux points d'inflexion si a = b.
La conchoïde peut se construire de la manière suivante: d'un point fixe A on mène un rayon vecteur quelconque indéfini qui rencontre en B une droite XX' dont la position
CALCrL DIFFÉRENTIEL.
est Invariable. A partir de B, on porte sur le rayon vecteur, et dans les deux sens, des longueurs BM, BN égales à une ligne donnée a-, la conchoïde est le lieu décrit par les points M et N, quand on suppose que le rayon vecteur tourne autour du point A.
Cette courbe fut imaginée par le géomètre Nicomède (environ 1 5o ans avant J.-C.) pour résoudre les deux problèmes, si célèbres chez les anciens, de la duplication du cube et de la trisection de Tangle. Newton en a fait usage pour la construction des équations du troisième degré [Arithmétique unis^erselle) ^ et les architectes Vîgnole et Blondel Tout utilisée pour le tracé des fûts de colonne [Cours d' Architecture, par d'Aviler). On peut substituer
à la base XX' une ligne quelconque, et Ton obtient alors des conchoïdes d'ordre supérieur. Dans le cas où l'on
prend un cercle et où le point A est sur la circonférence. on trouve le limaçon de Pascal (n® 479). De La Hire a donné, dans les Mémoires de l'académie des Sciences (année 1708), un long travail sur les conchoïdes à base quelconque.
