tig- aS.) L'axe des^ est une asymptote

Les points d'inflexion autres que l'orîgîne sont déter-

Frenet. — Recueil. 1 2

mines par l'équation

8cOS*2Ô -h 3cOS'2rô 4- 6COS2 0 -hlO r= O,

qui ne donne qu'une valeur réelle pour cos 20.

La plupart des courbes données dans ce paragraphe sont tirées de V Introduction à l'analyse des lignes cowbes, par Cramer (Genève, 1750).

S XUI. — Rayons de courbure et déi^eloppées

des courbes planes.

Notations et formules. — p, rayon de courbure en un point (x^jr) ou (r, 6) d'une courbe donnée par l'équation

/(•^,r) = o, ou F(^0) = o;

e, angle de la tangente avec l'axe des x ou l'axe polaire j /?, distance de l'origine à la tangente 5 a et 6, coordonnées du centre de courbure ;

ds'

dx d^jr — djr d'^x

idf\^d-f ^df df d-f ^ idf

\dx] dj^ dx dy dxdy \dx

dfyd^i

dx"

/*VT L.+^iV"

^drY d'r [ d^u

tt' 1 u

d^j di)^ \ dB

. . ds . d^p dr

Les quantités p et r se rapportant à un point d'une courbe, px et r^ au point correspondant de la développée, on a

\dx' j \dj:^

Si 0) désigne l'angle des axes, on a

(/) p- ^ft:

-r— sin« 266. On tire immédiatement de Téquation

Par suite,

On a aussi d'où

De plus.

/'(I-HZ)-*-/?' Z' ce qui donne

P^'i''-[l^q)[qy^+p^)'

l8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et comme l'équatîon proposée peut s'écrire il en résulte

{i -^ qy^qr' '^P'Y=^p'[p -^ a^Yf

ou bien, en tenant compte de la relation (i),

Pour 7 = 0, l'équation (2) se réduit à une identité; mais en la mettant sous la forme

et prenant la vraie valeur du second membre pour ^ = 0, on trouve

équation connue de la développée de la parabole.