IL = , '^-^ . -f- 2« (p

170 CALCUX IHTÉGRAL.

... dx dr d% du

y-\-z-\-u Z'+'U'hJc a-h^-hX x-^y-^z

Ajoutons ces rapports égaux terme à terme , il vient

€/ (.r -f- ^ -h z -4- a) dx dv

en posant

D'ailleurs on a aussi

dy — dz d(^y — z) dif ^

d'où résulte

On trouve encore, à cause de la symétrie,

P (z — uY = C, ^ {u — jcf =r C";

l'équation intégrale est donc

^[^ [y — 2)' , v{z — uY, V {u — .tY\ =z o.

§ XIX. — '■ Calcul des variations.

Formules générales .

V=F(.r,r,/^,7,....), d\=:=mda:-^-^dy-i-Vdp-{'Qdq-\-...y

dy dp

Ax représente ce que devient la fonction A quand on y remplace les? lettres qui y entrent par les valeurs qu'elles prennent à la limite x = Xj ] A,^ a une signification ana-

80I.irT1099. 171

logue. D'ailleurs,

B = M -H ^ -{. etc.

ax cfx^ dair

(i) A,| — A,^ = o, équation aux limites;

(2) • B =: o, équation indéfinie.

Si V renfermait a:©, J^i-J^oi jKn Po» Piv5 valeurs de x, j"? Pf,j relatives aux limites, on ajouterait au premier membre de Téqualion (i) la quantité

fltr + .

etc.

Quand M = o Téquation (2) se remplace par celle-ci :

et si Fou a à la fois

elle se remplace par la suivante :

Lorsque V renferme plusieurs fonctions dej:, chacune d'elles donne lieu à une équation de la forme ('2), à moins toute-

17^ CALCUL IHTÉGRAL.

fois qu^ellcs ne satisfassent à une ou plusieurs équations données.

4415. On trouve

.r — 2a (jr^ H- jk')» = O,

équation à laquelle on peut arriver sans employer la méthode des variations. En faisant tourner la courbe obtenue autour de l'axe des a:, la surface de révolution qui en résulte renferme un volume qui , parmi tous ceux de même masse , exerce Tattraction maximum sur un point de l'axe. L'attraction est supposée proportionnelle aux masses et en raison inverse du carré de la distance.