L'élément de la surface en question est
ipds,
p désignant le rayon de courbure; on a donc
Comme x et y n entrent pas explicitement sous le signe , on trouve , d'après les formules générales ,
ou bien
ce qui peut s'écrire encore
Par un changement d'axes convenable on obtiendra
dy
OU bien
2/1 dp dont rinlégrale est
On déduit de cette dernière
dr
équation difTérentielle d'une cycloïde.
Les quatre constantes qu'introduit l'intégration complète sont déterminées par les conditions de la question. Dans le cas où Ton donne les points extrêmes A et B , sans donner les tangentes en ces points , Téquation aux limites se réduit à
Qi^/'i — Q«^/?o = o ou Q, =0, Q. = 0;
par suite,
Les points A et B sont donc les points de rebroussement de la cycloïde.
447. Cette question est celle du numéro précédent généralisée^ elle se traite de la même manière. On trouve en cfTet) pour Téquation diftérentielle ,
ou
3n-hi
174 CALCUL IMTÉORAL.
ce qui peut eucore s'écrire
En changeant convenablement les axes , cette équation devient
Kp K
(i-hpr
Prenant maintenant Taxe des x pour l'axe des y^ et réciproquement , et désignant toujours par la lettre p le coefficient angulaire de la tangente, on a
Substituons
àp
sa valeur
piip
et intégrons ,
vient
On peut démontrer que dans les courbes définies par cette équation différentielle le rayou de courbure est proportionnel à une puissance de l'ordonnée. On tire en effet de l'équation (i)
nf-' rfp ==— K (1 + /?')'' f//? = — R ^ -,
et , par suite ,
OU simplement
en changeant convenablement les axes.
(O. Bonnet, Journal At Liouvi!k^, tome IX.)
448. Soient 7* et les coordonnées polaires d^un point quelconque de la courbe, ds Tëlément de l'arc, r^ et r^ les valeurs de r qui correspondent aux constantes Xq et Xi ; si Ton fait seulement varier 9, ce qui est permis, la condition du maximum ou du minimum nous donne
et, par suite,
dr
Cette équation intégrée (n** 266) prend la forme
/^-^'cos [n 4- 9.) {0 — Oo) = C =r„
Les courbes que cette équation renferme jouissent de la propriété de représenter, dans un grand nombre de cas, les intégrales eulériennes de seconde espèce. (Serret, Joum, de Liouville, t. VII). On les obtient aussi en cherchant la figure d^équilibre d'un fil flexible, homogène, dont la tension varie d'un point à l'autre proportionnellement à l'épaisseur, et dont tous les points sont sollicités par une force centrale en raison inverse de la distance. (O. Bonnet, Journal de Liouville, t. IX.)
