Soit

aOO QUESTIONS DIVERSES.

Tintégrale première connue renfermant la constante arbitraire a. On trouve en dîfférentiant

d^y dff df3f

dr'^ dy ibn

Différentions par rapport à a cette nouvelle équation , elle donne

É?'© d^ dfù d^o

dadjr dy da dadx

OU bien

HS») "(S).

fly dx '

ce qui est la condition pour que l'expression

da '*' €la

dy T-^dx

soit une différentielle exacte. On a donc pour l'intégrale générale

(Joum. de Liou ville > tome XIV. )

IS. 1*^. Rappelons qu^on a généralement u et i^ représentant deux fonctions de z ,

. . d'* uv d'* V du d^"' v

Soit fait

il en résulte

am-+-i

A et B désignant deux coefficients numériques. Ces expressions nous montrent que dans le développement de o le facteur (i — z) entre à tous les termes avec des exposants toujours positifs , puisque a — i est toujours plus grand que m -, 9 s'annule donc pour z = i,

2^. L'identité est manifeste pour a = i. Il suffit donc de prouver que si elle est vraie pour une valeur de a , elle existe encore pour une valeur supérieure d'une unité. Or

on a

sin X dx

rf«-M.(,32) '^

aH —

Regardons (i — z*) ^ comme le produit de deux facteurs I — ^S (i — s') ^, la formule (i) donnera

Le second membre peut aussi s'écrire

d^ (0 . . cos.r r/(c

dx^ ^ ^ sijix dx ^

et comme Tidentité proposée est supposée exister pour la valeur a, on trouve, en prenant pour ç l'expression qui en résulte,

d'où

—i 1 =:(~i)«.3.5... {2a4-l) / cos(a4-l).r.f/.r

dz°^ Jo

/ Aa o £- / . sin(a -f- i).r

i4. L'analogie indique la forme suivante :

(la dbdc, . .

[{x - ay -f- (y - ^)-^-H (2- r)'-h. . .j^ /; étant une indéterminée. On tire de là <;^ Ç r r dadb de, . .

. / / s r r r Lv^aydadbdc

^iHP^^)j Jj-- ^^r^zi^^^:z?j^r::f^^

par conséquent,

r/^V ^/^V d'\ r/.r' dy^ dz^

Le second membre sera nécessaîremenl nul , si Ton pose

SOLliTIO«S. 2o3

la solution demandée est donc . .

dadbdc, . ,

[(x — ii)»-f- (j - ^)'-t- (z - cj« H- . . .]■ 1». / Y[x)co%nxdx

(A^-i- A, co8jr-t- Ascosa J7 -f- . . .)cos/iTd[r;

et comme I cospx cosqxdx est nul toutes les fois que p est différent de ^, il en résulte

^Y (x)cos nxdx= An l