En raisonnant comme dans le numéro qui précède, on trouve

10. Multiplions l'équation (i) parle facteur zdxy z étant uneîndéterminée, et intégronspar parties demanière à débarrasser^ de tout signe de différentiation sous le signe I • Un terme telquep^ — ^"jj- donnera naissance à l'intégrale

le signe -\- répondant à w — h pair et le signe — à » — A impair. Ainsi , le résultat de l'intégration se composera

d'une partie débarrassée du signe I et de Tinlégrale

Si z satisfait à Téquation (2), l'intégrale s'évanouit; l'équation (i) devient donc inlégrable quand on la multiplie par une solution de Téqualion (2).

L'autre partie de la proposition se voit très-facilement de la même manière.

t i . Supposons que V ne soit pas nulle pour x = <a .'Comme l'équalion différentielle proposée est du second ordre, on peut concevoir une fonction Vj qui y satisfasse, et qui diffère de V en ce qu'on en tire, pour x = «, des valeurs

arbitraires de V* et de — r-î^ différentes de celles de V et

dx

dW de -y-.

djc

On a donc

— j^ = ov=., ^.5 i = Gy,= o,

d'où résulte, en multipliant la première par V, ^o: et la seconde par y dx et retranchant,

par conséquent ,

K(v.iy--VÎ^)=eonst.

\ dx d.r j

On suppose queV n'est pas nulle pour x = a, et Ton peut se donner à volonté, que l'expression

donner à volonté, pour x=^a^ des valeurs de Vj et -~ telles

ait pour x = a une valeur différente de zéro , qui sera celle de la constante. On voit alors que pour toute aulre valeur de X on ne peut avoir en même temps

puisqu'il s'ensuivrait const = o, ce qui est contre l'hypoihèse.

Il suit de ce qui précède que V. change de signe chaque fois qu'il s'évanouit. On le fait voir absolument comme dan s la démonstration du théorème de Sturra.