a désignant le rapport donné , Tangle du rayon vec

teur avec la tangente a pour tangente trigonometnque —

On a donc

', =i^ d'où r = Ce^^ dr a

équation de la spirale logarithmique, et en résolvant par rapport kj-j-^

[(rt'- l) j3-f-rt'x']'

SOLUTIONS. ao:>

L'équation intégrale

[(a'-^i)y'-ha'x'Y=C±x

représente des cercles.

et en différentiant ,

( j?' -f- /* ) dlr = 3 d?/ rfj?; On trouve pour Tintégrale de cette équation homogène

x'^2y=zCx\ S2. Posons

d'où

\dx / X 3/' — x^

/dF\ "" "" r 3a:' — j' '

l'équation différentielle est donc, d'après la théorie des trajectoires orthogonales,

dxx(3x^'-X'')

Cette équation homogène donne par l'intégration

{x'^yy=Oxy,

équation d'une lemniscate semblable aux proposées et dont Vaxe est incliné de 45^ sur celui de ces courbes.

Le problème des trajectoires orthogonales a beaucoup occupé les géomètres. En 1715 Leibnitz le proposa aux savants de l'Angleterre, inAdpulsum Anglorum analystorum nonnîliil tentandum )> . Le g^nt fut relevé par Newton et

206 p LESTIONS DIVERSES.

Taylor, mais le travail le plus approfondi sur cette question appartient à Euler.

Îi5. Oéi trouve

jï -+- x' — C = a' log.r^ 24. Soient

l'équation de Tune des paraboles, è* la surface constante; on a

ij (fl.rj djc=: b^ z=^^.T(axy

Les relations (i) et (2) font connaître les coordonnées de Textrémité de l'arc à laquelle s'arrête l'intégrale, et l'équation

2 xj =r 3 A%

qui en résulte par Télimination de a, est celle du lieu demandé.

25. Soient b la longueur donnée, x' -H/* =a' l'équation de l'un des cercles, x^^/yi les coordonnées d'un point du lieu ; on a

r^ ady . jr,

h=z I — |-=raarcsm— >

et

Eliminant a, il vient

arctang- = ï- > ou rBz=:b.

Cette dernière équation aurait pu s'obtenir tout de suite, car on a, pour les coordonnées polaires d'un point du lieu,

et, par suite,

126. Prenant le point donné pour origine et la ligne donnée pour axe des x, Péquatîon de l'une des sphères sera

Si Ton désigne en outre par — 9 ^ les dérivées partielles

relatives à la surface inconnue, on trouve qu'on est conduit à intégrer l'équation

dz r' -t- s' — .r' y dz a.r 2 a:z z djr

On trouve