OM OM.OM
et, par suite,
(3) aa'-hbb'-^c4/=P.
On trouve aussi
, dF ^, dF , dF
mhm<m
Or, si Ton considère a^b^c^ a\ b\ c comme variableir dans les équations (i) , (a) , (3) , il vient, en différentiant,
df , df ,^ df ^
da dh de
da' "^ ^ db' de' '
a'da -i- b'db -^ c' de -h adci + bdb' -+- cdc'z=io.
Employons ici , comme dans le numéro qui précède, les multiplicateurs indéterminés X et /Ji, il viendra
da db de
d¥ ^ dF d¥
^ = ^^'' ^ = ^db'' ' = ^dP'
Les trois dernières équations nous apprennent que les directions de OM et de OH' coïncident. Elles nous permettent aussi de mettre OH' sous la forme
0H'= ^, d'où OM.OH'— k\ c. ff. F. D.
OM
Les surfaces que nous venons de considérer ont été nommées réciproques par M. Mac CuUagh.
Il est facile de voir que la surface réciproque d'un ellipsoïde est un autre ellipsoïde.
42. Soient a:,, y^^ z^ les coordonnées d'un point M de P,; l'équation d'un plan tangent à P au point (a:', y', z') et passant en M sera
xx'
zz'
avec
les conditions
Le cône qui a son sommet en M peut être considéré comme la surface enveloppe de ce plan.
Pour obtenir Téquation de cette surface, différentions les trois équations précédentes par rapport à x', y\ z! \ nous en déduirons
(i) xrr^jr'-f- piar,,
(3) z =: > «' -h fft z, ,
X et /i étant deux facteurs indéterminés.
Multipliant (i) par— » (2) parT^j (3) par -et ajoutant, on trouve
Multipliant de nouveau (i) par —9(2) par t;> (3) par et ajoutant, il vient
(5) A4-i=>-f-fA(B-M), ou A=piB,
en posant, pour abréger,
x^ r' z' , j?x, rri 3Z|
fl* 6' c' a} b^ c'
Multipliant enfin (i) par ^, (2) par p, (3) par -^ et faisant
nous obtiendrons
(6) B-hi => + fA(A, -h i), ou B=piA,;
par suite ,
AA, = B% c'est-à-dire ,
c'est l'équation du cône dont le sommet est en M.
aaO QUESTIONS DIVERSES.
Pour tout autre cône dont le sommet est sur la surface Pi , la quantité
aura la même valeur, puisque P et Pi sont concentriques, semblables et semblablement placés. Si donc on retranche l'équation (7) de l'équation du cône dont le sommet serait au point oTj , y, , jïj , ce point étant sur Pi, on trouvera
Cette équation, à laquelle satisfont les coordonnées des points communs aux deux cônes, se décompose eu deux équations du premier degré. c. q, f, d.
Les plans qu'on obtient ainsi ont pour équations
X hj* ^ ,/ "h g ■ =0,
La condition pour qu'ils se coupent à angle droit donnerait
C'est-à-dire que les divers sommets doivent se trouver sur un troisième ellipsoïde, concentrique aux deux autres, semblablement placé, et dont les axes soient proportionnels aux carrés des axes de ceux-là .
