Les deux sphères ont pour équation

L'équation d'un plan tangent à la première au point

(xi,yi,2i) sera

(i) XX, -f- yy, + zz, = A'.

Pour exprimer que ce plan est aussi tangent à la seconde au point (xj, j%, ^t), on a les relations

d'où Ton tire

SOLVTlOlfS. ^iS

par 8iiite,

(a) ax^-h by,-hez^ = h(h±k).

La question revient à trouver la surface enveloppe d'un plan dont l'équation est (i), les paramètres Xi ,yi , z^ devant satisfaire à Tëquation

(3) xî-hrî-t-«î = A«,

et à la relation (a).

Dififérentiant les équations (i), (3), (a) par rapport aux paramètres , il vient

(4) *^^i -t- x4Xt -+• ^^i = o >

( 5 ) jr, dlr, 4- j, cTr, -H z, £&, = G ,

(6) aitct-^ bdyi-^-cdziZizo.

Ajoutons entre elles ces dernières équations après avoir multiplié la première par 1 et la seconde par (x, 1 et /x étant deux indéterminées, puis égalons à zéro les multiplicateurs des différentielles ] nous trouverons ainsi

Ces relations, multipliées respectivement par x^y, z et ajoutées, nous donneront

Tirant p de là , nous obtenons, enfin eu égard à la symé* trie des calculs,

x — ^t __ y—ïK

ha'^{h±k)x,'^ hb'-'{h±k)y,'~' hc^{h±,k)z.

Ces trois rapports ont pour valeur commune

h(ax -j- bf -^ cz) -^ {k± k) h^^ et aussi

ax-i- bx -^cz — h[hdt:k)

2l6 QUBSTIOHS DIVERSES.

Il en résulte Téquation

= [ ao: 4. 6y -h 4» — ^ ( A ± ^ ) p .

Elle représente deux cônes , comme on pouvait le prévoir.

40. L'équation du plan normal à la courbe au point {x ^Xf z) est la suivante :

(ï) a> ( ^i> *-* c») — -+- ft» ( c' -- a') -- H- c' (a*— ^") - 5= o ,

or, y et z étant liées par les deux relations

(2) ar»-hj»-+-»» = r%

Différentiant ces trois équations par rapport à x, j* et z , nous aurons

xcLc -f. ydy 4- «^ = 0,

xdx ydy zdz

En faisant usage des indéterminées X et (i comme dans le numéro précédent, on trouve

«'(«'- *')| + Xz -H ^1 = 0.

Multiplions respectivement parx, j, z ces dernières équations , et ajoutons les résultats , il vient

>r*4- pi=: o;

SOLDTIOBS. 217

et, par suite,

D'ailleurs, de la combinaison des équations (2) et (3) , On tire

par conséquent, en substituant k x^ y, z leurs valeurs tirées des équations (7), on arrive à un résultat de la forme

(îr-(i)'-(r=°-

Cette équation homogène par rapport aux variables représente une surface conique, résultat facile à prévoir puisque tous les plans normaux passent par le centre de la sphère.

4i. Prenons le point fixe pour origine des coordonnées , et soient

les équations des deux surfaces, a, 5, <;, étant les coordonnées du point M, a\ b\ c\ celles du point M', on a

D'ailleurs ,