On a identiquement

c" [ces [bx + c) -H £ sin [bx -h c)] =r ef^+K^+O, Appelons u le premier membre de cette égalité, il vient

dx^ ^ '

Posons

cos a, Y = sm a ;

la dernière égalité peut s'écrire

-— - = (û'-h b^ y [cos (« a -h ' sin n a)] [cos {bx -h c) -f-i sin (^x -h c)] e^.

Si l'on remplace maintenant i/ par sa valeur et qu'on identifie les parties réelles dans les deux membres, ainsi que les parties imaginaires , on trouvera

^:l!!lf^^i±ilJ = («' + é')^ *-' cos (ftx + r + H. cf[^^n{b. + r)] ^ ^ ^ : ^^.^ +c + „a).

35. Si Ton désigne par u et i^ deux fonctions de a:, on a, d'après un théorème dû à Lcibnitz,

d^uv d'^u dv ^"~' u nin — i) d^ v rf*"~' u

djf* dx'* dx dx**-^ 1.2 dx^ «/a:»"*

Appliquant ici cette formule, on trouve

d^x __ rf" (fl -h bxY d"-* {a -+- bxy ^

dx^ — ^ j^ « eir"-' '

et eu vertu du n** 25

54. En appliquant le théorème rappelé dans le numéro précédent, on a

(^~^) PJP — ^) fl-— . 1,

dx^

en posant

A ~ >»(/? — i). ..(/» — « -M) (l — x)PxP--''. Si n:=p^ l'expression devient

I 2.3.. [p- 55. Au moyen du théorème du n^ 35, on a

en posant

= Pip-

'iP-

n + i)xP-'.

Si n=p,

l'expression devient

logJT-î-