Lr i — î
2 ô L^ — b^ a -}- bx j
En opérani comme au numéro précédent) on trouye, pour n pair, »
et pour 7ï impair
40. On obtiendra les formules demandées en remplaçant b par ib dans celles du n° 58 : mais on arrive à des résultats plus simples de la manière suivante :
«'H-^'-ît"' 2^7 [« — iba; a -h fax j d'où
d^r 1.2... nb'^ F i , , i |
dx^ 2a L (« — f'^^Y'^' (« -*- '^^)'"*" J
En posant a = rcos<p, bx=i: rsin(f^ le second membre devient
i.2.3.../i6« ( cos{«+i)<p4-isin(/2-hi)(p|
2a(a^-^ b^x^) '^ |^(— . i)n/sin(«+ i)^ )
Il en résulte, pour n pair.
:£.= (— 1 )^ ^ ces
( « -h I ) arc tang — j \ a{a' + b^x') ^ 1
et pour n impair
n-hi
d^Y r x"â~ 1.2*.. «6" . r, , V , bx^ ;^-(-i)' ^sm^(/i+i)arctang-J.
On peut aussi obtenir une formule unique pour les deux
soLUTions. a5
cas 5 en posant en effet
et opérant à peu près comme tout à Theure, on arrive au résultat suivant, quel que soit fz :
— = (-,)» ^sm (/,-f.i)arctang^- .
(LiOU VILLE.)
41. En remplaçant è par ib on rentre dans la question traitée n*^ 59 5 on obtient d'ailleurs des formules plus simples en opérant comme au n° 40.
dy lah
dx a} — 6' x' La question est ramenée à celle du n° 38.
«te û' -h ^'
par suite (n*^ 58) ,
<i"r , , , , , , sin/i0
44. Premier cas, m pair. La méthoJe de décomposition des fractions rationnelles nous donne ici :
af^ — a^ ma"^^ \x — a x
ma'^~^ ^1
CCS h / sm -
nia"*~^ ^^i 7, hit T.hrc
X — a ces ta sm
/«—a 2. hit , , 2hit ces ? sin
2/iir . . 2hit
X — a ces h la s\n
Posons
. a/iTT
X — fl cos
x^ — 2,ax cos h a^ )
. 2.hTC
asm
Sin((pA)--=: ,
Lr' — 7.ax cos h a^
\ ni }
il vient
. 1.2. ../fF 1 I 1
-— - COS h (/i -h l) fA
+ (,)»liiii-^y ^ U? ! ILL.
2 [x^ — lax COS h a^ 1
Deuxième cas, m impair. On obtient encore, au moyen de la décomposition des fractions rationnelles en fractions plus simples ,
af' — a» ma"^-^ x — a
— I 2 A ÏT . 2 Att
r~" cos h i sm
2 A TT , ihiz
X — tf cos la sm
m — i nhn . nh tu "":; cos I sm
X — a cos h ta sm
En faisant une hypothèse semblable à ccîlledu premier cas,
il vient
m— I r7.hiz , , 1
—7- CCS h (« — 1) «pA
x* — 2 fla: ces h
4tf. En opérant à peu près de la même manière que dans le numéro précédent , et adoptant les mêmes notations, on trouve pour m pair,
\x^ — 1 ax ces h rt* 1
et pour m impair,
dx^ ^ ^ ma'^P^^ {x — a)
n-hi
' ces ^^- ^-+-(/î-hl)(pA
^ ; I JU, n-t-1
-ma""-?-' —r-
2 / , T.hlt \ ^
\x^ — 2,ax ces h a I
dx 1.2 r/x' I . 2 . . . /î r/x"
Or on a
^7cxA ;=i , 4- 2rxA -f. i^^' A»+. . .,
a8 CALCUL DIFrÉRENTlEL.
Multiplions ces deux dernières égalités membre à membre et prenons le coefficient de A" ^ il est égal à
-j-^ s'obtiendra donc en multipliant cette quantité par
