L'ellipsoïde ayant pour équation
et 2X5 2j, a 2 étant les arêtes du parallélipipède, on a
abc
et pour le volume cherché
S abc 3^
446. [Fig. 7.) ABC est le triangle donné, DEF le triangle inscrit.
CD a«: X , AE =^ , BF = 3.
On trouve
X — [b — j)cosC (a — 0?) — £cosB
[ar'-+-(^— j^)»— 2x(ft— r)cosC]' [z'-h(tf — x)« — !ia(fl — jr)cosB]'' et deux autres équations analogues; ce qui prouve qu'on a FEA = DEC , EDC = BDF , BFD = AFE.
Le triangle demandé s'obtient donc en joignant entre eux les pieds d(^s perpendiculaires abaissées des sommets du triangle ABC sur les côtés opposés.
il7. Ix-h my 4- 'î^ = o étant Téquation du plan donnée , r la distance du centre de la surface à un point de la section , on a
/-•= rt» X» + ^> j> H- c* z%
o = /a: 4- m y -+- nz.
Soient 1 ei [i deux multiplicateurs indéterminés \ la méthode connue donne
On tire de là
et , par suite ,
On trouve enfin, pour obtenir le maximum et le minimum de r, l'équation suivante \
-f--T TT-^-. ; = o;
elle sert à déterminer les vitesses de Tonde propagée dans un milieu cristallisé. La surface considérée dans cet
exemple est la surface d'élasticité {n°I68).
*^ f^o/r Fresnel, Mémoires de l'Institut, t. VII, p. i3o, et Hrrschell, Théorie de la lumière,
0?' r' z* ti8. — 4- t; -+- - = I , équation de rellipsoïde.
Ix 4- /w r H- «z = G, équation du plan.
En opérant comme dans le numéro précédent, l'équation
SOLIiTIOKS. 47
qui détermine les axes est la suivante :
. + -; n-Hr; --,= 0.
Après avoir ordonné par rapport à r, on trouve que le produit des demi-axes de l'ellipse d'intersection est
abc
et , par suite , la surface a pour expression
Tzabc
4i9, La question revient à trouver le produit des trois demi-axes principaux, et comme ces demî-axes sont les valeurs majcimum et minimum du rayon vecteur ayant le centre pour origine , il suffit de chercher les maximum et minimum de la quantité
or, y, z étant liées par l'équation de l'ellipsoïde. On trouve alors ^ en appelant X une indéterminée,
\x -hoj; -H b' z -h b'y = o, IX -^ a'x-h bz -^b"x=zo, \z -{' a" z-^- by -j- ô' j: = o ,
d'où
En substituant , il vient
K — £iW— b"y ^ b'z = o, b" X — I - — a' J j^ -4- Ô2 = o , b' X -^ bx ^ (^^-^ a''^ z = o.
Multipliant la première équation par
la deuxième par
la troisième par
et ajoutant, il reste, toutes suppressions faites,
On ordonne par rapport à r^ et on arrive , pour la surface demandée , à l'expression
47r cj
^ ( aa' a" — ah^ — a! b'' — a" b"^ — 7, bb' b" Y
120. (Fig. 8.) En désignant par a et 6 les coordonnées du centre de Fellipse cherchée, l'équation de cette courbe peut s'écrire
A{;c — a)-f-2B(a: — a)(jr ~ê)4-C(r — 6)'-m=:o.
Posons CA = /7, CB = </, et exprimons que la courbe passe par les points C, A, B ; il en résulte les trois équations
(i) Aa'-f- 2Ba6 + C6='-M = o,
(3) C(^ — 6)' — 2 B ( ç — 6 ) a 4- Aa'-h i = o. Retranchons successivement l'équation, (i) des équations {2) et (3), il vient
(5) C(26 —q) -^- 2Ba = o.
Les relations (i), (4), (5) donnent enfin , pour les coefficients A, B, C,
A=:— nliiZliL-, B— (2«--;>)(2g->y) ^ a(/?6 -f- ^a — pq) 2a6(/>6-f-^a — pq)
Pour obtenir l'expression S de la surface de Tellipse en fonction de ces quantités , cherchons , en suivant la marche du numéro précédent, Téquation qui a pour racines les demi-axes de la courbe. Cette équation est la suivante : ^
(AC — B')z*— (A-+-C — 2Bcosô)z»-+-sin"0 = o;
le carré du produit des demi-axes est donc
et , par suite ,
sin'9 ÂC — B»'
TT sîn 9
