Pourx = o et^ = o, m = o, maximum

Poura:=zti2* el;^ = q=2% u= — 8, min,

4 10. Pour X = - et j = ^f h = -p^ 9 maximum.

Pour .1 = o et )^ = (), u = o, ni max., ni min.

444. Quand u sera maximum, logu le sera aussi et réciproquement. Prenant les logarithmes des deux membres et égalant à zéro les dérivées partielles du second, on trouve

Adoptons le signe •+• et posons

il en résulte

Calculons les dérivées secondes et remplaçons-y les inconnues par ces valeurs; les conditions de maximum ou de minimum pour les fonctions de trois variables indépendantes se réduisent à

et la fonction u a pour maximum

Le signe — donnerait un minimum.

llî. Adoptons la méthode des multiplicateurs, et soit A celui de l'équation donnée. On a

(i) >[(i-j-/3*)a? -^pqx]-^ r^ -h J/ = o,

(2) \\pqx -h (i -f- q^)y\ -4- ^ar 4- <r = o.

Multiplions (i) par x, ( 2 } par y et ajoutons , il vient

> -h a = o; ce qui donne

[a(i-H/?') — /•Jxnr — («/?7- s)y, [a(i ^q^)^t\y^ — {upq--s)x\

C'est l'écfuation qui résout la (juestion proposée.

SOLWTIOlfS. 45

La même équation se rencontre cjuand on cherrhe les rayons de courbure maximum et minimum en un jK)int d'une surface.

i 45. En remarquant que sîn a j = cos a x, on trouve

Le signe -f- correspond à un maximum, le signe — à uii minimum.