L'équation

de la tangente étant

les segments Xo ,^05 que cette droite détermine sur les axes

à partir de l'origine, ont pour valeurs (a* a:)*, (û*J^)*$

d'-où il suit que la portion de cette tangente comprise entre ' les axes est constamment égale à la longueur a.

Cette propriété est caractéristique de la courbe en question qui est une hypocycloïde (n** 127).

127. {Fig» 10. ) AX est la droite fixe , M un point quelconque du lieu, A la position initiale du mobile. En supposant les axes comme dans la figure , désignant par a le rayon du cercle et par 6 Tangle MOB, on a

( 7 = fl — a ces Ô ; et, par suite,

x = arcacos — (^^r — j')'-

Cette équation convient à tous les points de Tare AC% pour les points de l'arc C'A', le radical devrait être précédé du signe -f-.

En se servant des formules (1) , on trmive

-f- — ^ — •^- -LJ^^ = tang PMB.

dx y Wb ^

La tangente à la cycloïde s'obtient donc en menant MC.

Abaissons MD' perpendiculaire sur C'B', et soit M'R tangente au cercle O'. On a M'R= MM', puisque M'C est bissectrice de Fangle RM'D'*, il en résulte que M'R est égale à l'arc M' C et que le lieu des points R est la développante du cercle.

La cycloïde possède une foule de propriétés curieuses. Après les sections coniques , c'est sans contredit la courbe dont les géomètres se sont le plus occupés. Attribuée par les uns à Galilée, par d'autres au cardinal de Cusa (i5io), elle devint célèbre du temps de Roberval, qui le premier

54 CALCUL DIFFÉnENTIEL.

détermina sa surface. La construction de sa tangente fut donnée par Descartes , Wren calcula sa longueur ^ Pascal trouva l'aire et le centre de gravité d'un segment quelconque, ainsi que la surface et le volume engendrés par la révolution de ce segment autour de Taxe de la courbe. C'est à Huyghens qu'est due la connaissance de sa développée , de son rayon de courbure et de la propriété remarquable dont elle jouit d'être la tautochrone. Jean BernouUi découvrit en elle la brachistochrone et lui reconnut une autre propriété singulière dont voici Ténoncé : Qu'on imagine un arc de courbe AB , tel que les tangentes extrêmes soient perpendiculaires entre elles; développonsJe à partir du point B, ce qui donnera l'arc BC. Développons celui-ci à partir du point C , ce qui donnera l'are CD , et ainsi de suite. La limite des arcs ainsi obtenus est une demi-cycloïde.

Cette courbe a été l'objet de traités spéciaux dus à Pascal, Wallisj etc.

On peut généraliser le problème de la cycloide en supposant que le point décrivant M n'est plus sur une circonférence mobile, mais demeure invariablement lié à cette circonférence et à une dislance b du centre O. La droite MO, prolongée s'il est nécessaire, rencontre la circonférence en N, M et N étant du même côlé du centre. En prenant les mômes axes que pour la cycloide engendrée par N , et comparant les coordonnées des deux courbes, on trouve pour le lieu cherché